第二模块 第4章 第2讲 课件
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1．(2019广东)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
(1)求证：ED＝EC；
(2)求证：AF是⊙O的切线；
(3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∵∠BCD＝∠ACB，∴∠B＝∠BCD．∵＝，∴∠B＝∠D．
∴∠BCD＝∠D．∴ED＝EC．
(2)证明：如图所示，连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG.
由(1)得∠B＝∠BCD，∴AB∥DF.
∵AB＝AC，CF＝AC，∴AB＝CF.
∴四边形ABCF是平行四边形．∴∠CAF＝∠ACB．
∵AG为直径，∴∠ACG＝90°，即∠G＋∠GAC＝90°.
∵∠G＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠ACB＋∠GAC＝90°.
∴∠CAF＋∠GAC＝90°，即∠OAF＝90°.
∵点A在⊙O上，∴AF是⊙O的切线．
(3)如图所示，连接AG.
∵∠BCD＝∠ACB，∠BCD＝∠1，
∴∠1＝∠ACB．
∵∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA．∴＝.
∵BC·BE＝25，∴AB2＝25.∴AB＝5.
∵点G是△ACD的内心，∴∠2＝∠3.
∵∠BGA＝∠3＋∠BCA＝∠3＋∠BCD＝∠3＋∠1＝∠2＋∠1＝∠BAG，
∴BG＝AB＝5.
2．(2019黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：CE＝CF；
(3)若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
解：(1)如图所示，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
∵CE＝CB，∴＝.
∴∠CAE＝∠CAB．
∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠OCB＋∠BCD＝90°.
∴∠OCD＝90°.∴CD是⊙O的切线．
(2)∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC(ASA)．∴CB＝CF.
又∵CB＝CE，∴CE＝CF.
(3)∵∠CAD＝∠BCD，∠ADC＝∠CDB，∴△ACD∽△CBD．
∴＝＝.∴＝.
∴AD＝2，∴AB＝AD－BD＝2－1＝1.
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理，得a2＋(a)2＝12，解得a＝.∴AC＝.
3．(2019昆明模拟)如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是在AB下方的半圆上且不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连接CE.
(1)若∠ADC＝30°，求的长；
(2)求证：△DAC≌△ECP；
(3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝，求AD的长．
解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°.
∴∠DOB＝60°.∴＝＝.
(2)证明：连接OP.
∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°.
∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.
∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP.
又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS)．
(3)由(2)知四边形DCPE为矩形，△DAC≌△ECP，∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE.
∵tan∠DCE＝，∴tan∠ADC＝.∴设AC＝x，则DC＝2x，AD＝x.
在Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2，
∴52＝x2＋(2x－5)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝4.∴AD＝4.
4．(2018盐城)如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC，BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
(1)试说明点D在⊙O上；
(2)在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC·AE，求证：BE为⊙O的切线；
(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE，CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，∴∠ADB＝∠C＝90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上．
(2)证明：∵△ABC≌△ABD，∴AC＝AD．
∵AB2＝AC·AE，∴AB2＝AD·AE，即＝.
又∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴∠ABE＝∠ADB＝90°.
∵AB为⊙O的直径，∴BE为⊙O的切线．
(3)∵AD＝AC＝4，BD＝BC＝2，∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝2.
∵＝，∴＝，解得DE＝1.
∴BE＝＝.
∵∠ABE＝∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠FBE＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，∴∠FBE＝∠CAB．
又∵∠DAB＝∠CAB，∴∠FBE＝∠DAB．
在△EBF和△BAF中，∠FBE＝∠DAB，∠BFE＝∠AFB，
∴△EBF∽△BAF，∴＝，即＝＝，∴FB＝2FE.
在Rt△ACF中，∵AF2＝AC2＋CF2，∴(5＋EF)2＝42＋(2＋2EF)2.
整理，得3EF2－2EF－5＝0，解得EF＝－1(舍去)或EF＝.
∴EF＝.
