第二模块 第3章 第2讲 课件
展开第二部分 第三章 第2讲
1．(2018广州期末)如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2∠1.
在△ADC中，∠DAC＝180°－∠3－∠4＝180°－4∠1.
∴∠BAC＝∠1＋180°－4∠1＝69°，
解得∠1＝37°.
∴∠DAC＝69°－37°＝32°.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：△BDE∽△CAD．
证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC．
∴△BDE∽△CAD．
3．(2019昆明二模)已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE.求证：△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝CD．
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD(SAS)．
4．(2019哈尔滨期中)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，BF＝EC．
求证：(1)∠BAF＝∠EDC；
(2)BC∥EF.
证明：(1)在△BAF和△EDC中，，
∴△BAF≌△EDC(SSS)．
∴∠BAF＝∠EDC．
(2)∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF.
在△BAC和△EDF中，，
∴△BAC≌△EDF(SAS)．
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF.
5．(2019武安期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，E为BD中点，延长CD到点F，使DF＝CD．
(1)求证：AE＝CE；
(2)求证：四边形ABDF为平行四边形；
(3)若CD＝1，AF＝2，∠BEC＝2∠F，求四边形ABDF的面积．
解：(1)证明：∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA．
∵E为BD中点，∴DE＝BE.
在△ADE和△CBE中，，
∴△ADE≌△CBE(AAS)．∴AE＝CE.
(2)证明：由(1)得AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵DF＝CD，∴AB∥DF，AB＝DF.
∴四边形ABDF为平行四边形．
(3)∵四边形ABDF为平行四边形，∴∠F＝∠ABD．
又∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠ABE＋∠BAE＝∠F＋∠BAE，
∴∠F＝∠BAE，即∠ABE＝∠BAE.∴AE＝BE，即AC＝BD．
∴四边形ABCD为矩形．∴∠BAD＝90°.
又AB＝CD＝1，AD＝＝，
∴S四边形ABDF＝AB·AD＝.
6．(2018广州)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
(1)求∠A＋∠C的度数；
(2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)如图1，在四边形ABCD中，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，
∴∠A＋∠C＝360°－60°－30°＝270°.
(2)DB2＝DA2＋DC2，理由如下：
如图2，连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，连接CQ.
∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ.
∵AB＝BC，BD＝BQ，∴△ABD≌△CBQ.
∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ.
∵∠A＋∠BCD＝∠BCQ＋∠BCD＝270°，
∴∠DCQ＝90°.∴DQ2＝DC2＋CQ2.
∵CQ＝AD，DQ＝DB，∴DB2＝DA2＋DC2.
