第二模块 第2章 第3讲 课件

第二部分　第二章　第3讲

1．(2019贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．

解：如图所示，△DEF即为所求．

2．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB．(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)

解：如图所示．

因为∠EAC＝∠ACB，所以AD∥CB．

因为AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以AB∥CD．

3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2.

(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若△ADE的周长为a，先化简T＝(a＋1)2－a(a－1)，再求T的值．

解：(1)如图所示．

(2)T＝(a＋1)2－a(a－1)＝3a＋1.

因为DE是AC的垂直平分线，

所以AE＝AC＝×2＝.

在Rt△ADE中，可得AD＝＝＝2，DE＝ADsin A＝2×＝1.

所以a＝＋1＋2＝3＋.

所以T＝3a＋1＝3＋10.

4．(2019赤峰)已知：AC是▱ABCD的对角线．

(1)用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．

解：(1)如图，CE为所作．

(2)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3.

∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC．

∴△DCE的周长＝CE＋DE＋CD＝EA＋DE＋CD＝AD＋CD＝5＋3＝8.

5．(2018攀枝花)已知△ABC中，∠A＝90°.

(1)请在图1中作出BC边上的中线；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．

解：(1)如图1，AD即为所求．

(2)证明：延长AD到E，使ED＝AD，连接EB，EC，如图2.

因为CD＝BD，AD＝ED，所以四边形ABEC为平行四边形．

因为∠CAB＝90°，所以四边形ABEC为矩形．所以AE＝BC．所以BC＝2AD．

6．(2018自贡)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.

(1)作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4，求DE的长．(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)

解：(1)如图所示，作∠ABC的平分线交AC于E，过E作AC的垂线交AB于O，以O为圆心，OB为半径作圆，即为所求．

(2)因为BD是⊙O的直径，所以∠BED＝∠ACB＝90°.

因为∠EBC＝∠EBD，所以△BCE∽△BED．

所以＝.所以＝，解得BE＝2.

所以DE＝＝＝.

7．(2019河池)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．

(1)尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E(不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；

(2)探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．

解：(1)如图所示．

(2)OE∥AC，OE＝AC．

理由如下：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC．

∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠BAC．∴OE∥AC．

∵OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线．∴OE∥AC，OE＝AC．