第二模块 第4章 第3讲 课件

第二部分　第四章　第3讲

1．(2017广东)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0,2)和C(2，0)，点D是对角线AC上一动点(不与A，C重合)，连接BD，作DE⊥DB交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF.

(1)填空：点B的坐标为　(2，2)　；

(2)是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3)①求证：＝；

②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y的最小值．

解：(1)∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2.∴B(2，2)．

(2)存在．理由如下：

连接BE，取BE的中点K，连接DK，KC．∵∠BDE＝∠BCE＝90°，∴KD＝KB＝KE＝KC．∴B，D，E，C四点共圆．∴∠DBE＝∠DCE，∠EDC＝∠EBC．∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°.

①若DE＝CE，如图(1)中，当E在线段CD上时，△DEC为等腰三角形，则ED＝EC，

∵∠DBE＝∠DCE＝∠EDC＝∠EBC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°.

∴△DBC是等边三角形．∴DC＝BC＝2.

在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4.∴AD＝AC－CD＝4－2＝2.

∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．

②若CD＝CE，如图(2)，当E在DC的延长线上时，∵△DCE是等腰三角形，CD＝CE，∠ACO＝30°，

∴∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°.∴∠ABD＝∠ADB＝75°.∴AB＝AD＝2.

综上所述，满足条件的AD的值为2或2.

(3)①ⅰ.如图(1)中∠DBE＝30°，∠BDE＝90°，∴tan∠DBE＝＝.

ⅱ.如图(2)中∠DBE＝∠DBC＋∠EBC＝∠DEC＋∠CDE＝∠ACO＝30°，∴tan ∠DBE＝＝.

综上，＝.

②作DH⊥AB于H.

在Rt△ADH中，∵AD＝x，则DH＝AD＝x，AH＝x，∴BH＝2－x.

在Rt△BDH中，BD＝＝，

∴DE＝BD＝·，∴y＝2＝(x2－6x＋12)＝(x－3)2＋.∵＞0，∴x＝3时，y有最小值.

2．(2019深圳)如图所示抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1,0)，点C(0,3)，且OB＝OC．

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点D，E为在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；

(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

解：(1)∵OB＝OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)＝ax2－2ax－3a，故－3a＝3，解得a＝－1.

故抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，①

对称轴为直线x＝1.

(2)四边形ACDE的周长＝AC＋DE＋CD＋AE，其中AC＝，DE＝1，

故CD＋AE最小时，周长最小．

如图1，取点C关于x＝1的对称点C′(2,3)，

则CD＝C′D．

取点A′(－1,1)，则A′D＝AE.

故CD＋AE＝A′D＋DC′，则当A′，D，C′三点共线时，A′D＋DC′最小，周长也最小，最小值为＋1＋A′D＋DC′＝＋1＋A′C′＝＋1＋.

(3)如图2，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，

又∵S△PCB∶S△PCA＝BE×(yC－yP)∶AE×(yC－yP)＝BE∶AE，

则BE∶AE＝3∶5或5∶3，则AE＝或，即点E的坐标为或.

设直线CP为y＝kx＋3，将点E的坐标代入y＝kx＋3，解得k＝－6或－2.

故直线CP的表达式为y＝－2x＋3或y＝－6x＋3.②

联立①②，解得或或(舍去)．

故点P的坐标为(4，－5)或(8，－45)．

3．如图1，抛物线y1＝ax2－x＋c与x轴交于点A和点B(1,0)，与y轴交于点C，抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.

(1)求抛物线y2的表达式；

(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标，若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知，解得.∴抛物线y1的表达式为y1＝－x2－x＋.

∵抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶点为B(1,0)，

∴抛物线y2的表达式为y2＝－(x－1)2，即y2＝－x2＋x－.

(2)抛物线y2的对称轴l为x＝1，设点T的坐标为(1，t)．

已知A(－3,0)，C.

如图，过点T作TE⊥y轴于点E.

TC2＝TE2＋CE2＝12＋2＝t2－t＋，

TA2＝AB2＋TB2＝(1＋3)2＋t2＝t2＋16，AC2＝.

当TC＝AC时，t2－t＋＝，解得t1＝，t2＝；

当TA＝AC时，t2＋16＝，无解；

当TA＝TC时，t2－t＋＝t2＋16，解得t3＝－.

综上，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，使△TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为T1，T2，T3.

4．(2019济宁)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G.

(1)求线段CE的长；

(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点(与端点不重合)，且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y.

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD＝90°.

由翻折可知AD＝AF＝10，DE＝EF.

设CE＝a，则DE＝EF＝8－a.

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.

在Rt△EFC中，有(8－a)2＝a2＋42，解得a＝3，即CE＝3.

(2)①如图2，易知△ADE∽△GCE，∴＝，即＝，解得CG＝6.∴BG＝BC＋CG＝16.

在Rt△ABG中，AG＝＝8.在Rt△DCG中，DG＝＝10.

∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD．

∵∠DMG＝∠DMN＋∠NMG＝∠DAM＋∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG.

∴△ADM∽△GMN.∴＝，即＝，∴y＝x2－x＋10.

当x＝4时，y有最小值，最小值为2.

②存在．有两种情形：如图3，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DAG＝∠DGA，

∴△DMN∽△DGM.∴＝.

∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10.∴x＝AM＝8－10.

如图4，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H.

∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN.

∵∠DMN＝∠DAG＝∠DGM，∴∠MDG＝∠DGM.

∴MD＝MG.∵BH⊥DG，∴DH＝GH＝5.

易知△GHM∽△GBA，可得＝，即＝，解得MG＝.

∴x＝AM＝8－＝.

综上所述，满足条件的x的值为8－10或.