福建省宁德市2021届高三上学期普通高中毕业班第一次质量检查 数学 (含答案)

2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．2019年，面对国内外风险挑战明显上升的复杂局面，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步提升．如图为近五年来全国每年研究与试验发展（）经费支出的条形图及其增长速度的折线图，则下面结论中不正确的是（    ）

A．2016至2017年的经费支出的增长速度最快

B．2018至2019年的经费支出增加量为近五年来最多

C．2015至2019年的经费支出逐年增加

D．2015至2019年的经费支出的增长速度先递增后递减

4．若抛物线上的一点M到其焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（    ）

A．1 B． C． D．

5．已知二项式展开式中各项的二项式系数和是64，则该展开式中的常数项是（    ）

A．20 B． C．160 D．

6．若偶函数在上为减函数，则φ的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

7．A，B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏：当出现正面向上时，A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．若某人赢得所有卡片，则游戏终止，则恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是

A． B． C． D．

8．已知点，若过点的直线l交圆于C：于A，B两点，则的最大值为（    ）

A．12 B． C．10 D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

10．已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

11．如图，四个全等的直角三角形拼成图1所示的菱形和图2所示的正方形弦图．若直角三角形的斜边长为10，则以下结论正确的是（    ）

A．图1菱形面积的最大值为100

B．图1菱形的两条对角线之和的最小值为

C．当图2小正方形的边长为2时，图1菱形的一条对角线长为12

D．当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，图2小正方形的面积为20

12．已知函数，则以下结论正确的是（    ）

A．的零点个数的可能取值为0，2，3，4

B．当时，恒成立

C．的极大值点为

D．的值域为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知点在幂函数的图像上，则不等式的解集为________．

14．在江西省发现的汉代海昏候刘贺墓中，发掘出大量的铜钱“汉五铢”．古人是如何将铜钱放置在钱库中的呢？汉代将1000枚铜钱用缗（丝绳或麻绳）串起来，称为一“缗”（，音岷），再放在一起成为一堆．为清点这批铜钱的数目，考古工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有________缗．

15．已知三棱锥.所有顶点都在球O的球面上，且底面为等边三角形，平面，.若三棱锥.体积的最大值为，则球O的表面积为________．

16．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点．过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结并延长交双曲线C于点P．若，且，则该双曲线的离心率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在①，②，，，

③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．

问题：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，，______________，求a的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（12分）已知等比数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（12分）已知椭圆E：的右焦点是，点P是椭圆E上一点，且的最大值为．

（1）求椭圆方程；

（2）过椭圆右顶点A的直线l与椭圆交于B，与y轴交于C．设和的面积分别为和，求的取值范围．

20．（12分）如图所示，在四棱锥.中，，，，，，，点E在棱上运动．

（1）当E为的中点时，证明：；

（2）是否存在点E，使二面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

21．（12分）某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，．62.6.

（1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度 （结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望；

（3）若变量X满足且且，则称变量X满足近似于正态分布的概率分布．如果这批样本的长度d满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利出厂；否则不能出厂．请问，能否让该批零件出厂？

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求解关于x的不等式：.

2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查

数学试题参考答案及评分标准

说明：

1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．

2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．

1．A  2．B  3．B  4．B  5．D  6．D  7．C  8．A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．CD  10．BC  11．ACD  12．ACD

三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

13．  14．2020  15．  16．

8.解：设的中点为P，由可得点P的轨迹方程为.

所以的最大值为

（E为中点），

又，

所以最大值为12.解：由得，函数的零点个数即为函数与的图像交点个数.如图可知：

当时，有0个交点；

当时，有3个交点；

当时，有4个交点；

当时，有2个交点；

当时，有0个交点，

所以的零点个数的可能取值为0，2，3，4.故A正确.

即函数图像在图像的上方，由上可知，当且仅当时，才有恒成立.故B不正确.

显然（为偶函数），故只需研究时的情形，此时

为减函数，

令，解得，

且当时，时，

所以为极大值点，同理可知也为极大值点，故C正确；

所以，

又，，

所以的值域为，D正确.

故选ACD.

B也可通过时的情形予以排除.本题还可通过三角换元求解

15.解：设的中点为，则为外接圆的圆心

由已知可得

等边外接圆的圆心即为外接球的球心O

设

则

三棱锥高的最大值为x

所以的最大值为

解得

所以球O的半径

所以球O的表面积为

16.解：设双曲线C的左焦点为，连结，，设，则，

所以，.

由对称性可知，四边形为平行四边形，故.

在中，由余弦定理得，

解得.

故，.

在中，由余弦定理得，

，

解得：.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分10分．

解：选条件①

由①及正弦定理可得

，………………………………………………………1分

，

……………………………………………………………3分

因为，

所以……………………………………………………………………………4分

因为，所以.………………………………………………………………5分

由得，………………………………………………………6分

又，可得，………………………………………………………………8分

所以是等边三角形，从而.……………………………………………………10分

另解：…………………………………………………………7分

…………………………………………………………………8分

，………………………………………………………………………9分

则.……………………………………………………………………………10分

选条件②

由②可得，

即……………………………………………………………………1分

由正弦定理可得

，………………………………………………………2分

因为，

所以，

……………………………………………………………3分

因为，∴，………………………………………………………………4分

因为，所以.…………………………………………………………5分

下同选择①.

选条件③

由③，……………………………………………1分

……………………………………………………………2分

因为………………………………………………………………3分

所以，

所以.…………………………………………………………………4分

因为，所以.…………………………………………………………………5分

下同选择①.

18．本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等．满分12分．

解法一：

（1）设的公比为q，由题意得

………………………………………………………………………2分

解得：………………………………………………………………………4分

所以…………………………………………………………………5分

（2）因为

所以………………………………………………6分

所以时，

……………………………………8分

时，………………………………9分

………………………………10分

………………………………………………………11分

所以………………………………………………………12分

解法二：

（1）同解法一

（2）因为

所以……………………………………………………6分

设数列的前n项和为

则

………………………………………………………………………8分

当时，…………………………………………………………9分

当时，

………………………………………11分

所以………………………………………………………12分

19.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．

解法一：

（1）因为椭圆E：的焦点为，所以.………………1分

又，，…………………………………………………………3分

所以，.………………………………………………………………4分

即椭圆方程为.……………………………………………………………5分

 （2）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的解析式为，

则C点为.…………………………………………………………………………6分

由，可得：，…………………………………7分

解得：，……………………………………………………………8分

故，……………………………………………………………10分

由此可得：

.……………………………………………………………11分

所以．……………………………………………………………………12分

解法二：

（1）同解法一

（2）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的解析式为，

则C点为.…………………………………………………………………………6分

由，可得：…………………………7分

设，

由韦达定理得：，………………………………………8分

则，点F到直线l的距离为：，

所以

.…………………………………………………………10分

由此可得：．………………………………………………11分

故．………………………………………………………………………12分

20.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计等．满分12分．

（1）连接， ，

因为且，，

解得，

又，，

则，

所以.……………………………………1分

又，，

所以，又，

则.………………………4分

又，E为的中点，

所以，

又，

所以，………………………5分

则.………………………6分

（2）由（1）得，，

且，如图建立空间直角坐标系

，，，.…………………………………………………7分

易知，平面的一个法向量为，……………………………………………8分

假设存在满足题意的点设E

设

………………………………9分

，

设平面的一个法向量为，

则

令，则，，

则.………………………………………………………………………10分

若二面角的余弦值为，

则

解得或 （舍去）………………………………………………………………11分

所以棱上存在点E，使二面角的余弦值为，此时.…………12分

21.本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、正态分布等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查统计思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（1）由题意可得

所以，，.……………………………3分

.…………………………5分

（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，长度d在的概率

且随机变量ξ服从二项分布，

所以，

……………………………………………………………7分

所以随机变量ξ分布列为

…………………………………………………………8分

（另解：）.……………………………………………………………9分

（3）由（1）及题意可知，.

所以；

…………………10分

.…………………11分

所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布的概率分布.

所以能让该批零件出厂.………………………………………………………………12分

22.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．

解：（1），…………………………………………………1分

定义域为……………………………………………………………2分

当时，，所以函数的单调递减区间为和，无增区间；………………………………………………3分

当.时，由得且；由得，

所以函数的单调递减区间为和，递增区间为；……………4分

当时，由得且；由得

所以函数的单调递减区间为和，递增区间为……………5分

综上，当时，函数的单调递减区间为和，无增区间；

当时，函数的单调递减区间为和，递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为和，递增区间为.

（未考虑定义域扣2分）

（2）由，即，

从而，

即，

…………………………………………………………………7分

设，

令，得，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即恒成立；……………………………………………9分

设，

令，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即恒成立；…………………………………………10分

又当时，，时，，……………………………………11分

所以不等式的解集为……………………………………………12分

（注：构造函数不唯一，请阅卷老师根据具体情况酌情给分）