福建省漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）数学 (含答案)

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（在此卷上答题无效）
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漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）
数学 答案
（考试时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷（选择题60分）
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，下列结论成立的是
A． B． C． D．
2．若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边上一点绕原点顺时针旋转到达点的位置，则
A． B． C． D．
4．已知为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，点，则的最小值为
A． B． C． D．
5．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端
午时， 贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某
校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取
长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为
半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半
径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊
香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为
A． B． C． D．
6．已知中，，，点是的重心，则
A． B． C． D．
7．正实数，，满足，，，则实数，，之间的大小关系为
A． B． C． D．
8．正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这
两个正四面体公共部分的体积为
A． B． C． D．

二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）

9．小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的
还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用
于各项支出的比例分配图：
2017年各项支出 2020年各项支出







根据以上信息，判断下列结论中不正确的是
A．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同
B．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍
C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍
D．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了
10．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是
A． B．
C．若，则 D．若，则
11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满
足，的面积，则
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数
C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是
第Ⅱ卷（非选择题90分）
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．的展开式中，的系数为_______．
14．定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为_______．
15．三棱柱中，，，是等腰直角三角形，
，，则异面直线与所成角的余弦值为_______．
16．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，
为半径的圆交的一条渐近线于两点，且线段被的另一条渐近线平分，则的离心率
为_______；若的焦距为，为上一点，且，直线交于另一点，则
_______． （本题第一空2分，第二空3分）
四．解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
在中，，，分别是角，，的对边，并且.
（1） 若，，求的面积；
（2） 求的最大值.
18．（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，满足，且，，依次构成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）请从①②③ 这三个条件选择一个，求数列的
前项和.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.


19．（本小题满分12分）
如图，圆柱的轴截面是正方形，、分别是上、下底面的圆心，是弧的中点，
、分别是与中点.
（1）求证：//平面；
（2）求锐二面角的余弦值.





20．（本小题满分12分）
《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领. 制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基. 发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线. 某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：










（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，
（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求随机变量的分布列及期望值．


21．（本小题满分12分）
已知函数，（，）
（1）当，讨论在上的零点个数；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.



22．（本小题满分12分）
阿基米德（公元前287年公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数
学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平
面直角坐标系中，椭圆：（）的面积为，两焦点与短轴的一个顶
点构成等边三角形．过点且斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线与直线交于点，试证明，，三
点共线；
（3）求面积的最大值.
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（在此卷上答题无效）
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漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）
数学 参 考 答案
（考试时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷（选择题60分）
一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．C 2．D 3．D 4．A 5． B 6．C
7．A 8．C
【解析】
1．集合，，不满足，则A错；，则B错；，则C正确；，则D错.故选C.
2．
则，复数在复平面上对应的点为，故复数在复平面上对应的点位于第四象限，故
选D.
3．依题意可知在角的终边上，所以，故选D．
4．点是抛物线内的一点，设点在抛物线准线上的射影为，根据抛物线的定义可知
，要求的最小值，即求的最小值. 当，，三点共线时，
取到最小值. 故选A.
5． 由题意得，恰好有6段圆弧或有段圆弧与直线相交时，才恰有个交点，每段圆弧的圆心角都为，且从第1段圆弧到第段圆弧的半径长构成等差数列：，，，
当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度
的最大值为．故选B.



6． 由题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，
由于，，则，，故
又点是的重心，则
，，，故选C
7．，
即为函数与的图象交点的横坐标
，
即为函数与的图象交点的横坐标
，
即为函数与的图象交点的横坐标
在同一坐标系中画出图象，可得.故选A.
8．如图，点，，，，，分别是边，，，，
，的中点，这两个正四面体公共部分为多面体．
三棱锥是正四面体，其棱长为正四面体棱长的一半，
则
这两个正四面体公共部分的体积为.
故选C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．ACD 10．BCD 11．ABD 12．BD
【解析】
9． 由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式，故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年
相同，D错；设一年房贷支出费用为，则可知2017年小王的家庭收入为，2020年小王的家庭收入为，，小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50% ，C错；2017、2020年用于饮食的支出费用分别为，A错；2017、2020年用于其他方面的支出费用分别是，B对．故选ACD．
10．由已知，得. 若，则，不满足，故A错；
由，故B正确；当时，且，则，，
所以，故C正确；当时，且，则，，所以
，所以，则，故D正确. 故选BCD.
11．，A正确；
已知
所以
即，D正确；
若为锐角三角形，
所以 ，若为直角三角
形或钝角三角形时可类似证明，B正确；
，所以，C错．故选ABD.
12．因为的定义域为，，所以是奇函数，
但是，所以不是周期为的函数，故A错误；
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递增，
且在连续，故在单调递增，故B正确；
当时，，，
令得，，
当时，，
令得，,
因此，在内有20个极值点，故C错误；
当时，，
设，所以，
令， ，，单调递增，
，所以，在单调递增.
当趋近于时，趋近于， 所以，故D正确. 故选BD.
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13． 14． 15． 16．，
【解析】
13．展开式的通项为
令，则， 所以的展开式中，的系数为
故答案为.
14．由已知，当时，，不等式等价于
又定义在R上的偶函数，
所以，所以或，解得或
则不等式的解集为
故答案为.
15．因为，，所以，
又因为是等腰直角三角形，，，所以，
因为，又，
所以，所以．又，所以
根据题意可知异面直线与所成角为，
根据余弦定理得，
故答案为.





16．如图所示建立平面直角坐标系，设的中点为，则由双曲线的对称性知，
，
所以，
所以，可得，，；
的焦距为，所以，. 设，则，
又由，得，
所以，在中，由余弦定理得，
，
即，解得，即．
故答案为，.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：（1）因为，，所以，
因为，所以， 2分
又因为，所以． 3分
所以的面积． 5分
（2）由（1）可得，
所以
8分
因为，所以， 9分
所以当时，有最大值1． 10分
18．解：（1）设等比数列的公比为，根据已知条件， ，，依次构成等差数列，
所以，则， 2分
因为，所以，解得 4分
由，即，所以，解得 5分
所以 6分
（2）选① 7分
9分
12分
选② 7分
（*）
9分
可得
11分
所以 12分
选③ 9分
12分
19．解：（1）取的中点为，连接，
则////，且 2分
所以四边形为平行四边形， 所以//，又面，面
所以//面. 4分
（2）面，则，，
是圆柱底面的直径，是弧的中点，所以，为中点，则
以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图． 5分
设，则，，， 6分
，
设平面的一个法向量为，则
，，取，则，，
则 8分
，
设平面的一个法向量为，则
，，解得，取，则，
则 10分
所以. 11分
所以锐二面角的余弦值为. 12分










20．解：（1）
2分
3分
（2）由题意样本方差，故，所以， 4分
由题意，该厂生产的产品为正品的概率

.所以//面. 6分
（3）所有可能取值为，，，. 7分

9分
随机变量的分布列为

0
1
2
3





11分
12分
21．解：（1），，，令，得
当，，在单调递减
当，，在单调递增
所以是的极小值点同时也是最小值点，即 2分
当，即时，在上没有零点；
当，即时，在上只有1个零点； 3分

因为，所以只有一个零点，
又因为，取，
，得
当，，在单调递增
当，，在单调递减
，所以对，，所以，即
所以，所以内只有一个零点，
所以在上有两个零点. 5分
综上所述，当时，在上有两个零点；
当时，函数在上没有零点；
当时，函数在上有一个零点. 6分
（2） 方法一：
恒成立，
即
7分
所以
构造，所以，在上单调递增
只需，即恒成立 8分
令， 9分
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
所以，即 11分
又，所以. 12分
方法二：
，有，则当时， 7分
令，所以在单调递减， 8分
注意到，所以.（必要性） 9分
下面证明（）
令，
当，，所以在上单调递增
当，，所以在上单调递减
所以，
即对，，即（）得证.
因为，所以，即，即.
当时， 11分
.（充分性） 12分
方法三：
，即恒成立
7分
即，恒成立， 8分
注意到在单调递增, 9分
当时，，
所以 10分
当时，
注意到，存在，使得，矛盾 11分
综上，. 12分
22．解：（1）由题意可得：，解得 ，， 2分
则椭圆方程为 3分
（2）设直线的方程为，设，
由，整理得
4分
椭圆的左、右顶点分别为，，
直线方程为：，
又直线与直线交于点，则， 5分
因为,都存在，所以要证，，三点共线，只需证 6分
只需证
只需证
只需证
只需证
而
故，，三点共线. 8分
（3）由（2）可得

10分
令（），则
令，函数在区间单调递增，
即当，即时，取到最大值. 12分