福建省漳州市2021届高三毕业班适应性测试(一)数学 (含答案)
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(在此卷上答题无效)
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漳州市2021届高三毕业班适应性测试(一)
数学 答案
(考试时间:120分钟;满分:150分)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷(选择题60分)
一.单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合,,下列结论成立的是
A. B. C. D.
2.若复数(为虚数单位),则复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,其终边上一点绕原点顺时针旋转到达点的位置,则
A. B. C. D.
4.已知为抛物线的焦点,为抛物线上任意一点,点,则的最小值为
A. B. C. D.
5.原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载:“端
午时, 贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能祛蚊虫.”如图,为某
校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线上取
长度为1的线段,做一个等边三角形,然后以点为圆心,为
半径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点,再以点为圆心,为半
径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点,以此类推,当得到的“螺旋蚊
香”与直线恰有个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最大值为
A. B. C. D.
6.已知中,,,点是的重心,则
A. B. C. D.
7.正实数,,满足,,,则实数,,之间的大小关系为
A. B. C. D.
8.正四面体的体积为,为其中心,正四面体与正四面体关于点对称,则这
两个正四面体公共部分的体积为
A. B. C. D.
二.多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.)
9.小王于2016年底贷款购置了一套房子,根据家庭收入情况,小王选择了10年期每月还款数额相同的
还贷方式,且截止2020年底,他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用
于各项支出的比例分配图:
2017年各项支出 2020年各项支出
根据以上信息,判断下列结论中不正确的是
A.小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同
B.小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍
C.小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍
D.小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了
10.已知等差数列的公差,前项和为,若,则下列说法正确的是
A. B.
C.若,则 D.若,则
11.在中,,,分别是角,,的对边,其外接圆半径为,内切圆半径为,满
足,的面积,则
A. B.
C. D.
12.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是周期为的奇函数 B.在上为增函数
C.在内有21个极值点 D.在上恒成立的充要条件是
第Ⅱ卷(非选择题90分)
三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.的展开式中,的系数为_______.
14.定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为_______.
15.三棱柱中,,,是等腰直角三角形,
,,则异面直线与所成角的余弦值为_______.
16.已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,以坐标原点为圆心,
为半径的圆交的一条渐近线于两点,且线段被的另一条渐近线平分,则的离心率
为_______;若的焦距为,为上一点,且,直线交于另一点,则
_______. (本题第一空2分,第二空3分)
四.解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
在中,,,分别是角,,的对边,并且.
(1) 若,,求的面积;
(2) 求的最大值.
18.(本小题满分12分)
已知等比数列的前项和为,满足,且,,依次构成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)请从①②③ 这三个条件选择一个,求数列的
前项和.
注:如果选择多个条件分别进行解答,按第一个解答进行计分.
19.(本小题满分12分)
如图,圆柱的轴截面是正方形,、分别是上、下底面的圆心,是弧的中点,
、分别是与中点.
(1)求证://平面;
(2)求锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批,由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件,是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领. 制造业是国民经济的主体,是立国之本、兴国之器、强国之基. 发展制造业的基本方针为质量为先,坚持把质量作为建设制造强国的生命线. 某制造企业根据长期检测结果,发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布,并把质量差在内的产品为优等品,质量差在内的产品为一等品,其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件,测得产品质量差的样本数据统计如下:
(1)根据频率分布直方图,求样本平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)根据大量的产品检测数据,检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值,求该厂生产的产品为正品的概率;
参考数据:若随机变量服从正态分布,则:,,
(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中,质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验,记摸出三件产品中优等品球的件数为,求随机变量的分布列及期望值.
21.(本小题满分12分)
已知函数,(,)
(1)当,讨论在上的零点个数;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
22.(本小题满分12分)
阿基米德(公元前287年公元前212年,古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家,也是著名的数
学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平
面直角坐标系中,椭圆:()的面积为,两焦点与短轴的一个顶
点构成等边三角形.过点且斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为,,直线与直线交于点,试证明,,三
点共线;
(3)求面积的最大值.
学校: 准考证号: 姓名:
(在此卷上答题无效)
工作秘密★启用前
漳州市2021届高三毕业班适应性测试(一)
数学 参 考 答案
(考试时间:120分钟;满分:150分)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷(选择题60分)
一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.C 2.D 3.D 4.A 5. B 6.C
7.A 8.C
【解析】
1.集合,,不满足,则A错;,则B错;,则C正确;,则D错.故选C.
2.
则,复数在复平面上对应的点为,故复数在复平面上对应的点位于第四象限,故
选D.
3.依题意可知在角的终边上,所以,故选D.
4.点是抛物线内的一点,设点在抛物线准线上的射影为,根据抛物线的定义可知
,要求的最小值,即求的最小值. 当,,三点共线时,
取到最小值. 故选A.
5. 由题意得,恰好有6段圆弧或有段圆弧与直线相交时,才恰有个交点,每段圆弧的圆心角都为,且从第1段圆弧到第段圆弧的半径长构成等差数列:,,,
当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时,“螺旋蚊香”的总长度
的最大值为.故选B.
6. 由题意,以所在直线为x轴,的垂直平分线为y轴建立坐标系,
由于,,则,,故
又点是的重心,则
,,,故选C
7.,
即为函数与的图象交点的横坐标
,
即为函数与的图象交点的横坐标
,
即为函数与的图象交点的横坐标
在同一坐标系中画出图象,可得.故选A.
8.如图,点,,,,,分别是边,,,,
,的中点,这两个正四面体公共部分为多面体.
三棱锥是正四面体,其棱长为正四面体棱长的一半,
则
这两个正四面体公共部分的体积为.
故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。)
9.ACD 10.BCD 11.ABD 12.BD
【解析】
9. 由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式,故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年
相同,D错;设一年房贷支出费用为,则可知2017年小王的家庭收入为,2020年小王的家庭收入为,,小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50% ,C错;2017、2020年用于饮食的支出费用分别为,A错;2017、2020年用于其他方面的支出费用分别是,B对.故选ACD.
10.由已知,得. 若,则,不满足,故A错;
由,故B正确;当时,且,则,,
所以,故C正确;当时,且,则,,所以
,所以,则,故D正确. 故选BCD.
11.,A正确;
已知
所以
即,D正确;
若为锐角三角形,
所以 ,若为直角三角
形或钝角三角形时可类似证明,B正确;
,所以,C错.故选ABD.
12.因为的定义域为,,所以是奇函数,
但是,所以不是周期为的函数,故A错误;
当时,,,单调递增,
当时,,,单调递增,
且在连续,故在单调递增,故B正确;
当时,,,
令得,,
当时,,
令得,,
因此,在内有20个极值点,故C错误;
当时,,
设,所以,
令, ,,单调递增,
,所以,在单调递增.
当趋近于时,趋近于, 所以,故D正确. 故选BD.
三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. 14. 15. 16.,
【解析】
13.展开式的通项为
令,则, 所以的展开式中,的系数为
故答案为.
14.由已知,当时,,不等式等价于
又定义在R上的偶函数,
所以,所以或,解得或
则不等式的解集为
故答案为.
15.因为,,所以,
又因为是等腰直角三角形,,,所以,
因为,又,
所以,所以.又,所以
根据题意可知异面直线与所成角为,
根据余弦定理得,
故答案为.
16.如图所示建立平面直角坐标系,设的中点为,则由双曲线的对称性知,
,
所以,
所以,可得,,;
的焦距为,所以,. 设,则,
又由,得,
所以,在中,由余弦定理得,
,
即,解得,即.
故答案为,.
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解:(1)因为,,所以,
因为,所以, 2分
又因为,所以. 3分
所以的面积. 5分
(2)由(1)可得,
所以
8分
因为,所以, 9分
所以当时,有最大值1. 10分
18.解:(1)设等比数列的公比为,根据已知条件, ,,依次构成等差数列,
所以,则, 2分
因为,所以,解得 4分
由,即,所以,解得 5分
所以 6分
(2)选① 7分
9分
12分
选② 7分
(*)
9分
可得
11分
所以 12分
选③ 9分
12分
19.解:(1)取的中点为,连接,
则////,且 2分
所以四边形为平行四边形, 所以//,又面,面
所以//面. 4分
(2)面,则,,
是圆柱底面的直径,是弧的中点,所以,为中点,则
以为原点,,,分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,
如图. 5分
设,则,,, 6分
,
设平面的一个法向量为,则
,,取,则,,
则 8分
,
设平面的一个法向量为,则
,,解得,取,则,
则 10分
所以. 11分
所以锐二面角的余弦值为. 12分
20.解:(1)
2分
3分
(2)由题意样本方差,故,所以, 4分
由题意,该厂生产的产品为正品的概率
.所以//面. 6分
(3)所有可能取值为,,,. 7分
9分
随机变量的分布列为
0
1
2
3
11分
12分
21.解:(1),,,令,得
当,,在单调递减
当,,在单调递增
所以是的极小值点同时也是最小值点,即 2分
当,即时,在上没有零点;
当,即时,在上只有1个零点; 3分
因为,所以只有一个零点,
又因为,取,
,得
当,,在单调递增
当,,在单调递减
,所以对,,所以,即
所以,所以内只有一个零点,
所以在上有两个零点. 5分
综上所述,当时,在上有两个零点;
当时,函数在上没有零点;
当时,函数在上有一个零点. 6分
(2) 方法一:
恒成立,
即
7分
所以
构造,所以,在上单调递增
只需,即恒成立 8分
令, 9分
当时,,所以在单调递减;
当时,,所以在单调递增,
所以,即 11分
又,所以. 12分
方法二:
,有,则当时, 7分
令,所以在单调递减, 8分
注意到,所以.(必要性) 9分
下面证明()
令,
当,,所以在上单调递增
当,,所以在上单调递减
所以,
即对,,即()得证.
因为,所以,即,即.
当时, 11分
.(充分性) 12分
方法三:
,即恒成立
7分
即,恒成立, 8分
注意到在单调递增, 9分
当时,,
所以 10分
当时,
注意到,存在,使得,矛盾 11分
综上,. 12分
22.解:(1)由题意可得:,解得 ,, 2分
则椭圆方程为 3分
(2)设直线的方程为,设,
由,整理得
4分
椭圆的左、右顶点分别为,,
直线方程为:,
又直线与直线交于点,则, 5分
因为,都存在,所以要证,,三点共线,只需证 6分
只需证
只需证
只需证
只需证
而
故,,三点共线. 8分
(3)由(2)可得
10分
令(),则
令,函数在区间单调递增,
即当,即时,取到最大值. 12分