江西省丰城中学、高安二中等六校2021届高三1月联考 数学（理） (含答案) 试卷
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2021届六校联考理科数学试卷
命题人：上高二中 审题人：上高二中 2021年元2日
本试卷总分值为150分 考试时长120分钟
考试范围：高考范围
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数，则复数的虚部为（ ）
A．－1 B．1 C．－i D．i
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
8．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
9．若，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
10．在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
11．已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，满足约束条件，则的最小值为______．
14．设向量，满足，，且，则__________.
15．设，分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.
16．在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知数列中，，
（1）求证：是等差数列；
（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围.
18．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（1）证明：AE⊥PB；
（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.
20．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，射线于椭圆交于点，设的面积与的面积分别为.
①求的最大值；
②当取得最大值时，求的值.
21. 定义在的函数（其中R）.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数在处有极小值，求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.
23．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
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2021届六校联考理科数学试卷答案
BBAC,BDAD,BCDA
13． 2 14． 15． 16．
17.解：（1），
，
，
是以为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以，
因为，
所以是递增数列，
的最小值为，又因为
18．（1）连接BD，设AE的中点为O，
∵AB∥CE，AB＝CECD，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，
∴△ADE，△ABE为等边三角形，
∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，
又OP∩OB＝O，
∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，
∴AE⊥PB．
（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，
∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，
又OP＝OB，∴OP⊥OB，
∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），
∴（，0，），（，，0），
设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，﹣1，1），
又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，
设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos|，
由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα．
19．（1）第一组数据平均数为千斤/亩，
第二组数据平均数为千斤/亩，
可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（
（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为千斤.
∴该农场一年的利润为千元.
（ii）对于采用降低夜间温度的方法：
每亩平均产量为千斤，
∴该农场一年的利润为千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
的可能取值有0，1，2，3，
；
；
；
.
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
所以.
20．解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为，左焦点为，则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，将代入椭圆方程，可得，解得，
所以椭圆方程为
（2）①由直线与圆相切得，则，设，
将直线代入椭圆方程得，，
，
因为，所以，
且，
所以
设点到直线的距离为，
所以的面积为
，
当，得时等号成立，所以的最大值为1
②设，由直线与圆相切于点，可得，则，可得，
所以，
因为，所以，
所以
21. （1）若，则，求导得，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以取得极大值也是最大值，
.
（2），其中，
令，则，
当时，，则函数在上单调递减，又，
所以时，，单调递增；
时，，单调递减，
即在处有极大值，与题干矛盾，故不符合题意；
当时，令，
则，显然，
则在上单调递减，而.
①若，，
故当时，，此时单调递减，
所以，故在单调递减，
显然在处不可能有极小值，故不满足题意；
②若时，，
故当时，，此时单调递增，
所以时，，即在单调递减，
由（1）知，，即，则，
所以，
因为，，所以存在使得，
则时，，即单调递增，
所以时，，即在单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值.
综上所述，若在处有极小值，则.
22．由
可得直线的直角坐标方程为
由曲线的参数方程，消去参数
可得曲线的普通方程为.
易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.
设是方程的两根，则有.
23．（1）当时，
原不等式可化为.
①当时，
则，所以；
②当时，
则，所以；
⑧当时，
则，所以.
综上所述：
当时，不等式的解集为或.
（2）由，
则，
由题可知：
在恒成立，
所以，即，
即，
所以
故所求实数的取值范围是.
