辽宁省辽阳市2021届高三上学期期末考试 数学 (含答案)

辽阳市2021届高三上学期期末考试

数学试卷

考生注意：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

 A． B． C． D．

2．已知复数，则z的共轭复数

 A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线C的离心率是

 A． B． C． D．2

4．“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余两艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为

 A． B． C． D．

5．“”是“直线与圆相交”的

 A．充分不必要条件  B．充要条件

 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

6．在三棱锥中，平面BCD，，，，，点E在棱AD上，且，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为

 A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为

 A．  B．

 C．  D．

8．已知函数（,且）的图象在处的切线方程为，若恒成立，则m的取值范围为

 A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知，则的值可以为

 A．9 B．10 C．11 D．12

10．下列函数中是奇函数，且值域为的有

 A．  B．

 C．  D．

11．已知函数，则

A．图象的一条对称轴方程为

B．图象的一个对称中心为

C．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象

D．将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称

12．设椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，，．过点的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有

A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为

C．椭圆上存在4个点Q，使得 D．直线l的方程为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上

13．已知向量，，且，则________．

14．在的展开式中，含项的系数为________．

15．函数的最大值是________．

16．已知底面为矩形的四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，，，，且．若球O的体积为，则________，棱PB的中点到平面PCD的距离为________．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在递增的等比数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（12分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的面积是56，且________，求的周长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（12分）

为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系，农业农村部随机对160个城镇当月的猪肉价格（元千克）与居民人均收人（元月）进行了调研，得到如下表格：

（1）估计全国各地猪肉价格在（元千克）内的概率；

（2）估计这160个城镇的居民人均收入（元月）的中位数（计算结果保留整数）；

（3）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

附：，其中．

20．如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，，点E不在平面ABCD内，平面平面，平面ABCD，．

（1）证明：．

（2）求平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．

21．（12分）

已知函数，其中．

（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）设函数的最小值为，求函数的最大值．

22．（12分）

已知，是抛物线上两个不同的点，C的焦点为F．

（1）若直线AB过焦点F，且，求的值；

（2）已知点，记直线PA，PB的斜率分别为，，且，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足，求点D的轨迹方程．

高三考试数学试卷参考答案

1．A ∵，∴．

2．B ，则．

3．C 因为，所以C的离心率．

4．B 依题意可知，“礼”“数”为必选，因此两个孩童都不选“御”的概率为，

故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为．

5．A 由，得，

因为，所以选A．

6．D 建立如图所示的空间直角坐标系，

得，，，，

由，得，

所以，．

设异面直线CD与BE所成角为，

所以．

7．D 因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，

则．

因为在上单调递减，所以在上单调递增，

故等价于，

解得．

8．A 因为，所以，

又函数的图象在处的切线方程为，

所以，

解得，所以，

因为恒成立，所以恒成立．

当时，成立．

当时，令，则．

当时，，

在和上单调递减．

当时，，单调递增，

当时，恒成立，

所以；

当时，恒成立，

而，所以．

综上，，所以m的取值范围为．

9．CD 因为，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故．

10．AC 由题意可得和都是奇函数，且值域为，

是奇函数，但值域为，

是奇函数，但值域为．

11．CD ，

令，，则，，故A错误；

令，，则，，

所以图象的对称中心为，故B错误；

将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得到曲线的图象，

再向下平移2个单位长度得到曲线的图象，故C正确；

将的图象向右平移个单位长度，

得到的曲线方程为，其为偶函数，故D正确．

12．ACD

由椭圆的定义知，故．

因为，所以，

故，，可知椭圆的方程为，

椭圆的焦距为，故A对，B错；

由知，

故点Q在以线段为直径的圆上，

由知圆与椭圆有4个交点，故C对；

依题意知点为弦AB的中点，

设，，则，，

两式相减得．

因为，，

所以，故，

故，即，故D对．

13．1 由题意可得．

因为，所以，解得．

14．60 的展开式的通项为．

令，解得，

则．

15． ．

设，

则．

16．2，

∵，，∴，

又，，

∴平面ABCD．

∵底面ABCD为矩形，∴侧棱PC为球O的直径．

设球O的半径为R，则，即，

又，解得．

过A作于G，取棱PA的中点F，PB的中点E，连接EF．

易证平面APD，则，从而平面PCD．

由等面积法可得，

则F到平面PCD的距离为，

∵，∴，

则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，

故棱PB的中点到平面PCD的距离为．

17．解：（1）由题意可得

解得，．

故．

（2）由（1）可得，则，

故．

18．解：若选①，

因为，所以，

又，所以，

所以，

即．

因为，所以，即，

因为，所以．

因为，所以，

所以，

所以，

不妨设，，，

则的面积为，解得，

从而，，．

故的周长为．

若选②，

因为，

所以，

因为，所以，所以，

所以，即．

因为，所以，所以．

以下步骤同①．

若选③，

因为，

所以，

所以．

因为，所以，

所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．

以下步骤同①．

19．解：（1）因为这160个城镇的猪肉价格在（元千克）内的频率为，

所以据此得全国各地猪肉价格在（元千克）内的概率约为．

（2）因为居民人均收入（元月）在的频率为，

居民人均收入（元月）在的频率为，

所以居民人均收入（元月）的中位数在之间．

因为，

所以中位数约为4357．

（3）列联表如下

因为，

所以有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．

20．（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以，

因为平面BCEF，平面BCEF，

所以平面BCEF．

因为平面，平面ADEF，

所以．

（2）解：因为四边形ABCD为菱形，所以．

因为平面ABCD，所以以O为坐标原点，

直线OA，OB，OF分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

取CD的中点M，连接EM，OM，

因为，，

所以，．

因为，

所以为正三角形，．

因为，，，，

所以，，所以，．

从而，，，，，

，，，．

设平面ADEF一个法向量为，

所以所以

令，所以，，．

设平面BCEF一个法向量为，

所以所以

令，所以，，，

所以．

因此平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为．

21．解：（1）依题意得的定义域为，

且．

因为的图象在点处的切线与直线垂直，

所以，

即，解得或，

又因为，所以，

此时，

令，得；令，得．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知，

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，

又，令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，．

22．解：（1）由抛物线的定义可知，准线方程为．

因为，，

所以

（也可以先求直线AB的斜率，再求出的值）

（2）依题意可设直线，

则，，．①

因为，

所以．②

由①②化简整理可得，

则有，即或．

当时，，

解得或，

此时过定点，不符合题意；

当时，对于恒成立，

所以，直线过定点．

因为，所以，且A，B，D，E四点共线，

所以，点D的轨迹是以PE为直径的圆．

设，PE的中点坐标为，，

则D点的轨迹方程为．

验证，当D的坐标为时，

因为，AB的方程为，不符合题意，

所以点D的轨迹方程为（除掉点．