黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三上学期期末考试 数学（理） (含答案)

一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合，则 (　　)A.             B.           C．         D．  2. 若 ，其中 为虚数单位，则   (     )A.                 B.              C.             D. 3. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则= (    ) A.              B. 8               C. 16               D. 324. 数列在各项为正数的等比数列中，若，则(　　)A．27              B．81             C．243              D．7295．已知直三棱柱，若,是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为(     )A．            B．           C．          D．6. 已知角的终边上有一点,则的值为（   ）A．             B．          C．           D．7．设是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题的序号是（   ）   A．（1）（2）        B．（2）（3）        C．（3）（4）     D．（1）（4） 8.“或”是“”的（   ）条件A. 充分不必要       B. 必要不充分       C. 充要         D．既不充分也不必要9.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（     ）A.            B．          C． 或 D． 或 10. 设 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论有  (    )A. 个            B. 个           C. 个         D. 个11.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若则离心率的取值范围为（   ）A.            B.             C.         D. 12. 已知函数与函数图像交点分别为：，则（   ）A．-2             B．0               C．2             D．4二、填空题（每题5分，共20分）13．曲线在点处的切线方程为.14.已知向量，若，则.15.若过点的直线将圆的周长分为2:1两部分，则直线的斜率为.16．已知数列满足，则；                       . 三、解答题（17题10分,18-22题每题12分，共70分）17．（本小题满分10分）已知函数.（1）画出函数在区间上的图像；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，求函数图像的对称轴和增区间.  18．（本小题满分12分）已知三个内角所对的边分别是,若 .（1）求角;（2）若，,求（a>b）的值.   （本小题满分12分）已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和为.   （本小题满分12分）在长方体中，,点、分别在棱、上，且.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求棱的长.     21．（本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为、，直线，若椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线分别交直线于点，则以线段为直径的圆是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.  22. （本小题满分12分）设函数（其中）．（1）当 时，求函数的单调区间；（2）当 时，求函数在上的最大值．   答案一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合，则 (　B　)A.             B.           C．         D．  2. 若 ，其中 为虚数单位，则   (  B   )A.                 B.              C.             D. 3. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则= (   C ) A.              B. 8               C. 16               D. 324. 数列在各项为正数的等比数列中，若，则(　C　)A．27              B．81             C．243              D．7295．已知直三棱柱，若,是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为(  B   )A．            B．           C．          D．6. 已知角的终边上有一点,则的值为（D   ）A．             B．          C．            D．7．设是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题的序号是（  A ）  A．（1）（2）     B．（2）（3）       C．（3）（4）         D．（1）（4） 8.“或”是“”的（ B  ）条件A. 充分不必要       B. 必要不充分 C. 充要    D．既不充分也不必要9.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（  B   ）A.       B．      C． 或      D． 或 10. 设 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论有  (  B   ) A. 个               B. 个             C. 个             D. 个11.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若则离心率的取值范围为（ A  ）A.            B.           C.       D. 12. 已知函数与函数图像交点分别为：，则（D ）A．-2           B．0            C．2             D．4二、填空题（每题5分，共20分）13．曲线在点处的切线方程为.y=4x-414.已知向量，若，则.515.若过点的直线将圆的周长分为2:1两部分，则直线的斜率为.或17．已知数列满足，则；                       . 三、解答题（17题10分,18-22题每题12分，共70分）17．（本小题满分10分）已知函数.（1）画出函数在区间上的图像；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，求函数图像的对称轴和增区间.解：（1）列表（2）对称轴为：增区间为：18．（本小题满分12分）已知三个内角所对的边分别是,若 .（1）求角;（2）若，,求（a>b）的值.18.解：(1)由正弦定理得：由余弦定理：(2)      由正弦定理：.由余弦定理：或因为 a>b,所以（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.（3）证明：数列为等差数列；（4）求数列的前项和为.19.解：（1）由已知，时，时，符合上式是以13为首项，-3为公差的等差数列.（2）当时当时（本小题满分12分）在长方体中，,点、分别在棱、上，且.（3）求证：平面；（4）若二面角的余弦值为，求棱的长.          21．（本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为、，直线，若椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线分别交直线于点，则以线段为直径的圆是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由. 21.解： 由已知:                               ①椭圆过点联立①②得：椭圆方程为⑵设已知都有斜率       ③                        ④将④代入③得：设方程:则方程:                   ②由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为则： 存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.  22. （本小题满分12分）设函数（其中）．（1）当 时，求函数的单调区间；（2）当 时，求函数在上的最大值．