初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优质导学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优质导学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，或向下（c＜0），典型例题，总结升华，答案与解析等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；


2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；


3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.


【要点梳理】


要点一、二次函数的概念


1.二次函数的概念


一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.


若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.


以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.


二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：


① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.


要点诠释：


如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.


2.二次函数解析式的表示方法


1. 一般式：（，，为常数，）；


2. 顶点式：（，，为常数，）；


3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.


要点诠释：


任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.





要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质


1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象


用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。


因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.








2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法


用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.


要点诠释：


二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c（a≠0）的图象．


画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.


3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质


二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：





要点诠释：


顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.


│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.


要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质


1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
































（1）


















































（2）


























2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质


关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：





3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.


的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.


要点诠释：


抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．


函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．


抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．





【典型例题】


类型一、二次函数的概念


1. (1)当m＝________时，函数是二次函数?


(2)当m＝________时，函数是一次函数?


【答案】 (1) ； (2)0或-1或.


【解析】 (1)依题意有 解之得，∴ ．


故当时，函数是二次函数．


(2)若原函数是一次函数，则是一次项或常数项，从而可分三种情况考虑．


①解得 即．


②m+1＝0，即m＝-1．


③2m+1＝0，即．


【总结升华】此题根据二次函数和一次函数的定义，确定m的值．(1)题关键要考虑两点：一是自变量的最高次数，二是最高次项系数不为零．(2)题运用了分类讨论思想，讨论时应防止重复和遗漏．


举一反三：


【变式】（2014•长沙县校级模拟）若是关于x的二次函数，则a= ．


【答案】-1；


提示：根据题意得：3a2﹣1=2；


解得a=±1；


又因a﹣1≠0；


即a≠1；


∴a=﹣1．





类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质


2.二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．








【答案与解析】


如图所示，作B1C1⊥y轴，垂足为C1．


∵ △A0A1B1为等边三角形，∴ ∠A0B1C1＝30°．


设A0C1＝a，则A0B1＝2a，B1C1＝．∴ B1(，)，


∴ ，∴ ，∴ ．


作B2C2⊥y轴，设A1C2＝m，则A1B2＝2m，C2B2＝m，


∴ ．又．


∴ 2m2-m-1＝0，(2m+1)(m-1)＝0，∴ m＝1或(舍)．


A1B2＝2．同理可求A2B3＝3，A3B4＝4，…


∴ △A2012B2013A2013的边长为2013．





【总结升华】分别在△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，运用勾股定理分别表示出B1、B2、B3的坐标，利用抛物线解析式建立等式，分别求出△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3的边长，然后探究规律，求出△A2012A2013B2013的边长．





类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质


3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．


（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；


（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．








【答案与解析】


（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），


∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，


∴0=a•（-4）2+6，


16a+6=0，16a=-6，


．


故抛物线的函数关系式为.





（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．


将y=4.5代入，得x=±2．


∴P（-2，4.5），Q（-2，0），


于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，


从而|PB|=


所以照明灯与点B的距离为7.5m．


【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.





举一反三：


二次函数y=ax^2(a≠0)与y=ax^2+c(a≠0)的图象与性质 391918 练习题2】


【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．


(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．


(3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线.


【答案】(1)下；y轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.





4. 根据下列条件求a的取值范围：


(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；


(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；


(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；


(4)函数的图象是开口向上的抛物线．


【答案与解析】


(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2．


(2)由题意得，3a-2＜0，解得．


(3)由题意得，，解得，．


(4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴ a＝1．


【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．





举一反三：


二次函数y=ax^2(a≠0)与y=ax^2+c(a≠0)的图象与性质 391918 练习题3】


【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）．





【答案】B.


5. （2014•江阴市校级二模）关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（ ）


A. 它的开口方向是向下；


B. 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；


C. 它的对称轴是x=2；


D. 当x=0时，y有最大值是3.


【答案】B.


【解析】


A、∵二次函数y=2x2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误；


B、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故本选项正确；


C、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；


D、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误．


故选B．


【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；


x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；


x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；


当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；


当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，