九年级上册24.3 正多边形和圆精品同步训练题

这是一份九年级上册24.3 正多边形和圆精品同步训练题，共8页。
【巩固练习】


一、选择题


1. （2015•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）


A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：3


2．将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ( )


A． B．cm2 C．cm2 D．cm2


3．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（ ）


A．60° B．65° C．72° D．75°











P


D


R


C


Q


B


O


A








第3题 第5题


4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )．


A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3


5. 如图所示，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接⊙O的半径为，则正八边形的面积S为（ ）．


A. B. C. 8 D.4


6．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（ ）


A． B． C． D．





二、填空题


7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．


8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．








9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ：：1．


10．（2015•五通桥区一模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD的周长的最小值是 ．





11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．


（1）设T1，T2的边长分别为a，b， 圆O的半径为r，则r:a= ； r:b= ；


（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是 ．





第11题图 第12题图


12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r= ．








三、解答题


13.（2015•宝应县二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为多少cm？








14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．





（1）求图①中∠APB的度数；


（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；


（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．








15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.


（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，


①若n=20，则该正n边形的“接近度”等于 18；


②当“接近度”等于 0 时，正n边形就成了圆．


（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．























【答案与解析】


一、选择题


1．【答案】D；


【解析】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，


因而AD=OC+OD；


在直角△OCD中，∠DOC=60°，


则OD：OC=1：2，


因而OD：OC：AD=1：2：3，


所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．


2．【答案】A；


【解析】所得正六边形边长为1，∴ ．


3．【答案】D；


【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.


4.【答案】A；


【解析】如图（1），∵ AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴ OD＝．


∴ ．





如图（2），∵ AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．


如图（3），∵ CD＝2，∴ OC＝2，CM＝1，


∴ OM＝．


∴ ．


又∵ ，


∴ ，故选A．


5．【答案】B；


【解析】连接OA、OB，过A作AM⊥OB于M，


∵ ，


∴ △AOM是等腰直角三角形．


又，∴ AM＝1，


∴ ，


∴ ，


6．【答案】A．


【解析】由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为，


即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1；


做第二次后的正方形的边长为；


依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1，


则做第7次后的圆的内接正方形的边长为．


故选A．





二、填空题


7．【答案】 ；


【解析】 设正方形边长为a，则周长为4a，面积为，圆周长也为4a，则，


∴ ，∴


∴ ．


8．【答案】；


【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积．


∵ ，


，


∴


9．【答案】：：1；


【解析】设圆的半径为R，





如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，


则∠OBC=30°，BD=OB•cs30°=R，（或由勾股定理求）


故BC=2BD=R；


如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，


则△OBE是等腰直角三角形，


2BE2=OB2，即BE=，


故BC=R；


如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，


则△OAB是等边三角形，


故AG=OA•cs60°=R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求）


故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．


10．【答案】6.


【解析】要使△PCD的周长的最小，即PC+PD最小．


利用正多边形的性质可得点C关于BE的对称点为点A，连接AD交BE于点P'，那么有P'C=P'A，P'C+P'D=AD最小．


又易知ABCD为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°，


则作BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，


∵AB=2，


∴AM=AB=1，


∴AM=DN=1，从而AD=4，


故△PCD的周长的最小值为6．


11．【答案】（1）r:a＝1:1；；（2）．


【解析】如图所示．


（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形，所以r:a＝1:1；


连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以．


（2）T∶T的边长比是∶2，所以S∶S= .


所以．








12.【答案】；


【解析】连结OA、OO′、.（如图所示）


∵⊙O与AB，AD相切，⊙O′与BC,CD相切，


∴OA平分∠BAD,O′C平分∠BCD, ∴∠BAO=∠BCO′=45°，


若连结AC,则∠BAC=45°，∴直线OO′与直线AC重合，


设⊙O切AB、AD于E、F，⊙O′切BC、CD于G、H．


∵⊙O与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r．


连接OF、OE、、，则．


同理，


∴ ．


又∵，∴ ，


∴ ．











三、解答题


13.【答案与解析】


解：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，


∵六边形ABCDEF是正六边形，


∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长，


∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，


∴∠CBD=∠BDC=30°，


∴BD∥HK，且BD=HK，


∵CG⊥BD，


∴BD=2BG=2×2×=6，


∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18．


14.【答案与解析】


（1）∠APB=120°（如图①）


∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，


∴∠BAM=∠CBN，


又∵∠APN=∠BPM，


∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，


∴∠APB=120°；


（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．


（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．


15.【答案与解析】


（1）①∵正20边形的每个内角的度数m==162°，


∴|180-m|=18；


②当“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．


（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正n边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但|R-r|却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为、越小，正n边形越接近于圆；越大，正n边形与圆的形状差异越大；当=1时，正n边形就变成了圆．