考点02 函数的概念与性质（9月）-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点02 函数的概念与性质

一、选择题
1．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式分别求得的值，然后求解两者之差即可.
【详解】由题意可得：，，
则.
故选A.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知函数则=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】先求，注意选取的表达式为，然后再计算要选取计算．
【详解】∵函数，∴，．
故选C.
【点睛】本题考查分段函数，解题时要注意自变量在不同范围内选取的表达式不相同．
3．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）下列函数中，与表示同一函数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】
【分析】依次判断两个函数的定义域和对应法则，值域是否相同即可.
【详解】对于A. 与，定义域是R，定义域是，故两者不是同一函数；B. 与，表达式不同，故不是同一函数；C. 与，定义域相同，对应法则相同，故是同一函数；D. 定义域是R，定义域内没有0，故两者的定义域不同，不是同一函数.
故答案为C.
【点睛】这个题目考查了函数的三要素，判断函数是否为同一函数主要是看两个函数的三要素是否形同；其中两个函数的对应法则相同和定义域相同则两个函数一定是同一个函数，定义域相同和值域相同则两个函数不一定为同一函数.
4．（2020·上海高一开学考试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【详解】由，解得x≥且x≠2．
∴函数的定义域为．
故选C．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
5．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】如图，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，不符合函数的定义，即得解．
【详解】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.

故选C．
【点睛】本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
6．（2020·上海高一开学考试）已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】将从里到外的每一个函数值代入分段函数里算出即可.
【详解】由题意得,,
,
,
所以,
故选A.
【点睛】本题考查了分段函数的计算,属于基础题.
7．（2020·全国高一开学考试）若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，由此能求出函数f（x）的解析式．
【详解】解：f（1）＝x+，
设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+t﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选C．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数定义域等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）是集合到集合的映射，如果，那么只可能是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】根据映射的定义求出中的可能元素．然后求．
【详解】若，则，若，则，1和－1中至少有一个属于，和中至少有一个属于，若，则，若，则，．
故选D．
【点睛】本题考查映射的概念，考查集合的交集运算，属于基础题型．
9．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.
【详解】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，
A选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；
B选项中，，与定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；
C选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， 所以C错误；
D选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误.
故选B
【点睛】本题考查两个函数为同一函数的判断，属于基础题.
10．（2019·浙江湖州?高一期中）下列对应关系是从集合到集合的函数的是（ ）
A．，，：
B．，，：
C．，，：
D．，，：
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的概念和对应关系进行判断即可．
【详解】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；
B. ，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；
C. ，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；
D. ，，：是函数关系.
故选D
【点睛】本题主要考查函数关系的判断，根据函数的定义确定元素之间的对应关系是解决本题的关键，属于基础题．
11．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到，且，求解，即可得出结果.
【详解】由题意可得：，且，得到，且，
故选D
【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.
12．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个函数的定义域和对应关系是否都相同,来判断是否是同一函数.
【详解】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；
对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.
故选A.
【点睛】本题考查了函数的概念,属基础题.
13．（2019·江门市第二中学高一月考）设函数，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】因为时，
所以；
又时，，
所以故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
14．（2019·江西南康中学高一月考）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．
15．（2020·全国高一开学考试）如果在区间上为减函数，则的取值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对进行讨论，即可推得答案。
【详解】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意，当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：.综上：可得
故选.
【点睛】本题主要考查根据一元二次函数的性质求参数。
16．（2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性，可得，求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选A.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
17．（2020·全国高一课时练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据单调函数的定义直接得到答案
【详解】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是
故选C
【点睛】本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题
18．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】判断出函数是奇函数，从而根据的值可求出的值.
【详解】函数的定义域为，，
函数为奇函数，则.
故选B.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，推导出函数的奇偶性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
19．（2019·湖南汨罗�高一月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得：，解不等式即可。
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且满足，
所以，解得：
故选A
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性、单调性的应用，属于中档题。
20．（2020·全国高一）定义在上的偶函数满足，且在[－1，0]上单调递减，设，，，则、，大小关系是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】由可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.
【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2.
由于，
，
，
.且函数在[－1，0]上单调递减，∴.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题.
21．（2020·安徽金安�六安一中高一月考）已知是定义在上的奇函数，且对任意总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得到，再结合奇偶性求解.
【详解】因为，
所以，
所以
所以
故选B
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
22．（2020·陕西西安�高三二模（理））已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】先由f（x）是定义在R上的偶函数得f（﹣x）＝f（x），然后利用与f（x）的关系，以及的奇偶性，得f（x+1）+f（x﹣1）＝0，从而得到要求的数值．
【详解】因为是定义在上的奇函数，．因为是定义在上的偶函数，所以，可得，所以，因此．
故选C．
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．
23．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】 是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即

在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立

解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
24．（2020·湖北荆门�高三期末（文））定义在上的奇函数满足，，则的值是( )
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】先确定函数的周期，由周期性变形，再由奇函数定义求值．
【详解】∵是奇函数，∴，∴，
∴是是周期为6的周期函数，
∴
故选B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，利用周期变化自变量的大小以便求值是解这类问题的常用方法．
二、填空题
25．（2020·全国高一课时练习）已知函数是偶函数，且，则______.
【答案】5.
【解析】
【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.
【详解】因为是偶函数，
所以设，
则，
即，
因为，所以，
即，
故答案是：5.
【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.
26．（2019·西藏城关�拉萨那曲第二高级中学高一期末）已知，若，则 ．
【答案】
【解析】试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以．
考点：函数奇偶性应用．
27．（2019·东至县第三中学高一期中）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】结合奇偶性求解函数的解析式，结合解析式的特点及单调性求解.
【详解】由题意知，则，
所以恒成立等价于恒成立.
由题意得在R上是增函数，
所以恒成立，即恒成立.
又，所以当时，取得最大值
所以，解得.
故实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，稍有综合性，化为同名函数是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
28．（2020·山西应县一中高二期中（文））函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】要使根式有意义，则需，再解对数不等式即可得解，特别要注意对数的真数大于0.
【详解】解：要使函数有意义，则需，
则，即，解得：，
即函数的定义域为： ，
故答案为.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法，重点考查了对数不等式的解法，属基础题.
29．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）函数的定义域为_____.
【答案】；
【解析】
【分析】根据分式的定义和根式有意义的条件，进行求解．
【详解】解：函数解析式，
且，
且．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
30．（2020·江苏南通?高二期末）已知函数，则________.
【答案】4
【解析】
【分析】本题根据分段函数由内向外求函数值即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，，
故答案为：4.
【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.
31．（2020·全国高一课时练习）函数 有意义的自变量的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】要使函数有意义，只要确保根号里面的函数大于等于零即可。
【详解】函数 有意义，则，解得，所以答案为.
【点睛】本题主要考查函数的定义域，较基础。
32．（2020·全国高一开学考试）若对于任意实数都有，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由对于任意实数都有，列方程组，求出，由此能求出的值．
【详解】解：对于任意实数都有，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
33．（2020·浙江鄞州?宁波华茂外国语学校高三一模）设函数，若恒成立，则实数的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】因为恒成立，所以，解得或，验证和，即可得出的值.
【详解】因为恒成立，所以
即，解得：或
当时，，，则不满足条件
当时，，，则满足条件
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.
34．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）已知，则______________.
【答案】8
【解析】
【分析】先用换元法求出函数解析式，再计算函数值．
【详解】，则，代入得：
，∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查求函数解析式，求函数值，解题方法是换元法．另解：令，则，∴．
35．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）已知，若，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】先解，设其解为，再解．
【详解】时，，∴由知，∴，，
而，因此由知，即，．
故答案为：．
【点睛】本题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值．解题时可根据函数解析式确定函数的值域，以确定在已知函数值时的函数表达式．
36．（2020·全国高三课时练习（理））设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，
解得，所以；
当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.
所以f(a)≥－2，则或 ，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
37．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域为________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据二次根式和分式需要满足的条件，得到关于x的不等式组，解出即可
【详解】由题意，自变量x应满足
解得－3