考点08 直线的一般式方程-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点08   直线的一般式方程一、单选题  1．（2020·北京昌平区·昌平一中高二期中）已知直线：，：平行，则实数的值是（    ）A．或3 B．或1 C． D．3【答案】C【分析】利用直线平行的必要条件,求得的值，然后代回直线的方程，排除重合的情况.【详解】解：由题意得,解得或,当时，两直线的方程都是,两直线重合，当时，两直线的方程分别为和,两直线平行，故选:C.【点睛】本题考查根据直线平行求参数的值，属基础题，直线平行的必要条件,一定要代回检验，排除重合的情况.2．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线化为斜截式得到斜率，从而得到倾斜角.【详解】由得，所以直线的斜率为，倾斜角为.故选：C3．（2020·湖北武汉市·高二期中）直线，的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线方程确定斜率，再由求出倾斜角.【详解】直线方程化为斜截式方程为：，可知直线斜率，又因为，所以.故选：A.4．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高二期中）直线l的方程是，则直线l经过（    ）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【答案】A【分析】画出图形即可判断.【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限.故选：A.5．（2020·河北区·天津二中高二期中）已知直线，平行，则实数a的值为（    ）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】当与平行时，有且，然后解方程得的值即可.【详解】若直线，平行，则有且，解得：.故选：B．【点睛】本题考查根据两条直线的平行求参数的值，解答时，易错解为，得或，注意当时，，与重合．6．（2020·安徽池州市·池州一中高二期中（文））已知直线：，与：平行，则的值是（　　）A．0或1 B．0或 C．0 D．【答案】C【分析】根据直线一般式方程下直线平行的关系列式求解即可.【详解】解：因为对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；当直线时，等价于；所以有，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；当直线时，等价于；当直线时，等价于；7．（2020·江苏南京市·高三月考）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．（2020·四川省资中县第二中学高二月考（理））已知直线：的横截距与纵截距相等，则的值为（    ）A．1 B． C．或2 D．2【答案】C【分析】由直线方程，分别令，，然后根据直线横截距与纵截距相等求解.【详解】由题意得：，由直线：，令，得令，得因为直线：的横截距与纵截距相等，所以，即，解得或，故选：C9．（2020·秭归县第一中学高二期中）设直线过定点A，直线2kx-y-8k＝0过定点B，则直线AB的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出定点和定点，然后求即可求出倾斜角【详解】由，得，则点A的坐标为.由2kx-y-8k＝0，得y＝2k(x-4)，则点B的坐标为(4，0).所以，故直线AB的倾斜角为.故选：A10．（2020·江西高二期中（理））点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】作出图形，求出边界直线的斜率，根据图形列式可得结果.【详解】因为直线经过定点，直线的斜率为，因为，，由图可知，或，解得或.故选：B【点睛】关键点点睛：利用边界直线的斜率表示直线的斜率的取值范围是解题关键.11．（2020·全国高三专题练习（理））若点是直线：外一点，则方程表示（    ）A．过点且与平行的直线B．过点且与垂直的直线C．不过点且与平行的直线D．不过点且与垂直的直线【答案】C【分析】易知点的坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中的系数相同，但不同，可得直线平行；【详解】∵点不在直线：上，∴，∴直线不过点，又直线与直线：平行，故选：C.12．（2020·上海杨浦区·复旦附中高二期中）已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】按照、分类，求出截距后列方程即可得解.【详解】当时，直线，不合题意；当时，若，则，若，则，所以，所以或，解得或或；所以满足要求的直线的条数是3.故选：C.13．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ）A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交【答案】C【分析】由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【详解】解：由题意有可得，，，，则方程，，，即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，故，，表示过点且与平行的直线，故选：C ．【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行.14．（2020·重庆高二月考）已知直线方程为，和分别为直线上和外的点，则方程表示（    ）A．过点且与垂直的直线 B．与重合的直线C．过点且与平行的直线 D．不过点，但与平行的直线【答案】C【分析】先判断直线与平行，再判断直线过点，得到答案.【详解】由题意直线方程为，则方程两条直线平行，为直线上的点，，，化为，显然满足方程，所以表示过点且与平行的直线．故答案选C．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.15．（2019·湖北黄石市·高二月考）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.【详解】设，因为，，由重心坐标公式得重心为，代入欧拉线方程得： ①的中点为，，所以的中垂线方程为，  联立，解得 所以的外心为，则，化简得： ②联立①②得：或，当时，、重合，舍去，所以顶点的坐标是 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.  二、填空题16．（2020·太原市·山西大附中高二月考）若直线不经过第四象限，则k的取值范围为_______．【答案】【分析】直线过定点，根据点所在的象限可得斜率的取值范围.【详解】因为可化为，故直线过定点，而为第二象限中的点，且直线不经过第四象限，故斜率.故答案为：.17．（2020·四川高二期中（理））已知直线，，若，则m值为________.【答案】【分析】本题考查两直线的垂直的条件，根据两直线垂直的条件列出关于的方程，求解.【详解】解：直线，，若，则,解得,故答案为：.【点睛】两直线,垂直的充分必要条件是.18．（2020·全国高三专题练习（理））以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.【答案】2x＋y－14＝0【分析】求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.【详解】由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.故答案为：2x＋y－14＝0.19．（2020·全国高三专题练习（文））过两直线l1：和l2：的交点，且垂直于直线的直线方程为___________.【答案】x+2y+9=0【分析】联立直线方程解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【详解】联立方程组，解得，直线和的交点为，直线的斜率为2，由垂直关系可得所求直线的斜率为，所求直线的方程为，化为一般式可得故答案为：【点睛】方法点睛：求直线的方程，一般利用待定系数法，先定式，后定量.先定式，指的是根据已知条件从直线的5种形式里选择合适的一种作为直线的方程，后定量，指的是根据已知求出待定系数得解.20．（2018·江西省信丰中学高二月考）直线与直线互相垂直,则__________【答案】或【分析】由两条直线垂直的充要条件求得m的值【详解】直线与直线互相垂直，所以，即，解得或【点睛】直线与垂直的充要条件为21．（2020·全国高三专题练习（理））过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．【答案】x＋4y－4＝0【分析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，求得关于的对称点坐标，利用对称点在直线上求得，即得点坐标，从而得直线方程．【详解】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.故答案为：x＋4y－4＝0.【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线与已知两直线各有一个交点，是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．22．（2020·上海徐汇区·高二期中）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；③ 如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；④ 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数．【答案】①③【分析】给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.【详解】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线为：，则直线经过整点，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，，则，两式作差得：，即直线经过整点，直线经过无穷多个整点，③正确；④令直线为：，则不过整点，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求. 三、解答题23．（2020·安徽六安市·六安一中高二月考（理））设直线的方程为.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若不经过第三象限，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先分析斜率为的情况，然后分别考虑轴对应的截距，根据截距相等求解出的值即可；（2）先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】（1）由题意知，当时不符合题意；当时，令得，令得，若在两坐标轴上的截距相等，则，解得或.（2）直线的方程可化为，所以，所以，所以直线过定点，如下图所示：若不经过第三象限，则，解得，故实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：根据直线的截距相等求解参数的常规思路：（1）先考虑直线过坐标原点的情况；（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；（3）两者综合求解出最终结果.24．（2020·安徽池州市·池州一中高二期中（理））△ABC中∠C的平分线所在直线方程为，且A（－1，），B（4，0）.（1）求直线AB的截距式方程；（2）求△ABC边AB的高所在直线的一般式方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出关于直线的对称点，然后根据在上求解出点坐标，再根据高所在直线的斜率与斜率的关系，从而可求解出的高所在直线的一般式方程.【详解】（1）设的方程为，代入点，所以，所以，所以的截距式方程为：；（2）设关于的对称点为，所以且在直线上，又因为，所以，即，又因为在上，也在上，所以，所以，所以，又因为，设的高所在直线的一般式方程为，代入点，所以，所以，所以的高所在直线的一般式方程为.【点睛】思路点睛：点关于直线的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点，直线的斜率）：（1）设出对称点的坐标；（2）的中点必在上，由此得到第一个方程；（3）根据得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出.25．（2020·安徽滁州市·高二月考（文））已知直线和点，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B．（1）当时，求AB所在直线的方程；（2）求面积的最小值，并求当面积取最小值时点B的坐标．【答案】（1）；（2）40，.【分析】（1）根据，得到，然后根据直线AB过点求解.（2）设点，，点B的坐标为，,若直线AB的斜率不存在时，，可得的面积，当直线AB的斜率存在时，根据A，B，P共线得到，然后由的面积求解.【详解】（1）∵点，.∴又∵，∴.∵直线AB过点，∴直线AB的方程为，即.（2）设点，，点B的坐标为，，当直线AB的斜率不存在时，，此时的面积.当直线AB的斜率存在时，有，解得，故点B的坐标为，故的面积，即.①由题意可得方程有解，故判别式，∴，故S的最小值为40，此时①为，解得.综上可得，面积的最小值为40，当面积取最小值时，点B的坐标为.【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及三角形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．（2020·宝山区·上海交大附中高二开学考试）已知过点的直线与直线垂直. （1） 若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析【分析】（1）根据点在函数的图象上，求出点的坐标，再利用直线与直线垂直求出直线的斜率，由点斜式方程即可求出直线的一般式方程；（2）根据点在直线上，找到 之间的关系，消元转化为，则有，即可解出定点坐标．【详解】（1）点在函数的图象上，，即点由，得，即直线的斜率为，又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，所以直线的方程为，一般式方程为：．（2）点在直线上，所以，即，代入中，整理得，由，解得，故直线必经过定点，其坐标为.【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系应用、直线方程的求法以及过定点的直线系中的定点求法．27．（2020·泉州科技中学高二月考）已知的三边所在直线的方程分别是，，.（1）求与边平行的中位线方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根据题意得，，，故线段的中点为，进而可得与边平行的中位线方程；（2）由（1）得边上的高所在直线的斜率为，其过点，进而可得边上的高所在直线的方程.【详解】解：（1）直线与直线方程联立得；直线与直线方程联立得，所以线段的中点为 ，由于直线的方程为，其斜率为，所以与边平行的中位线方程为：，整理得：.所以与边平行的中位线方程为：.（2）由（1）知直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为所以边上的高所在直线的方程为：，整理得：.【点睛】本题考查直线方程的求解，数列掌握直线平行与垂直的关系是解题的关键，考查运算能力，是中档题.28．（2020·简阳市阳安中学高二月考）已知直线方程为，其中.（1）求证：直线恒过定点；（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.【答案】（1）证明见解析；（2）面积最小值为4，此时的直线方程.【分析】（1）直线的方程为化为：，令，解出即可得出结果；（2）设出直线的点斜式方程，求出直线与坐标轴的交点，将三角形面积公式和基本不等式相结合即可得出结果.【详解】（1）证明：直线的方程为，其中，化为，令，解得，则直线经过定点.（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，因此可设直线的方程为，可得与轴、轴的负半轴交于，两点，，，解得．∴，当且仅当时取等号．此时直线的方程为：，化为：.【点睛】本题考查了直线系、点斜式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题