初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数优质学案

这是一份初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数优质学案，共7页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．


2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．


3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．


4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．


【要点梳理】


要点一、反比例函数的定义


一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.


要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.


（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.


（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.


要点二、确定反比例函数的关系式


确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.


用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：


（1）设所求的反比例函数为： ()；


（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；


（3）解方程求出待定系数的值；


（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.


要点三、反比例函数的图象和性质





1、 反比例函数的图象特征：


反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.


要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；


（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．


2、画反比例函数的图象的基本步骤：


（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；


（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；


（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；


（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．


3、反比例函数的性质


（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；


（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；


要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.


要点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义





过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.


过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.


要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.


【典型例题】


类型一、反比例函数定义


1、当为何值时是反比例函数？


【思路点拨】根据反比例函数解析式，也可以写成的形式，后一种表达方法中的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为且，二者必须同时满足，缺一不可．


【答案与解析】


解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．


综上，＝－1，即＝－1时，是反比例函数．


【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①；②；③．


类型二、确定反比例函数解析式


2、（2014春•裕民县校级期中）正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）．


（1）求出点A的坐标；


（2）求反比例函数关系式．





【答案与解析】


解：（1）将A点坐标是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4，


则A（2，4）；


（2）将A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=，即k=8，


则反比例函数解析式y=．


【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．


举一反三：


【变式】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．


(1) 与之间的函数关系式；


(2)自变量的取值范围；


(3)当＝4时，的值．


【答案】


解：(1)∵ 与成正比例，


∴ 设．


∵ 与成反比例，


∴ 设．


∴ ．


把与分别代入上式，得


∴


所以与的函数解析式为．


(2)自变量的取值范围是≠0．


(3)当＝4时，．


类型三、反比例函数的图象和性质


3、（2016•宁夏）正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）





A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2


C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2


【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．


【答案】B．


【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，


∴点A的横坐标为2．


观察函数图象，发现：


当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，


∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．


【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．


举一反三：


【变式】（2014春•邓州市校级期中）已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（ ）个．


A.4 B. 3 C. 2 D. 1





【答案】D；


提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，正确；


y=2x﹣1中k=2＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项，错误；


y=﹣是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误；


y=是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误．


故选D．


类型四、反比例函数综合


4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.


(1)求反比例函数和一次函数的关系式；


(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．





【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围．


【答案与解析】


解：(1)设反比例函数的关系式为．


由N(－1，－4)，得，


∴ ＝4．


∴ 反比例函数的关系式为．


∵ 点M(2，)在双曲线上，


∴ ．


∴ 点M(2，2)．


设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得


解得


∴ 一次函数的关系式为．


(2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．


【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．


举一反三：


【变式】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．





（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．


（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？


（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．


【答案】


解：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．


∴ ＝6，．


∴ 反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．


（2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．


（3）BM＝DM．


理由：∵ ，


∴ ，


即OC·OB＝12．


∵ OC＝3，∴ OB＝4，即＝4．


∴ ．∴ ，．


∴ MB＝MD．