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    人教版九年级下册26.1.1 反比例函数精品导学案

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    这是一份人教版九年级下册26.1.1 反比例函数精品导学案,共9页。学案主要包含了学习目标,知识网络,要点梳理,典型例题,总结升华,思路点拨,答案与解析等内容,欢迎下载使用。




    【学习目标】


    1.使学生理解并掌握反比例函数的概念,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,能判断一个给定函数是否为反比例函数;


    2.能描点画出反比例函数的图象,会用待定系数法求反比例函数的解析式;


    3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质,能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.


    【知识网络】





    【要点梳理】


    要点一、反比例函数的概念


    一般地,形如 (为常数,)的函数称为反比例函数,其中是自变量,是函数,自变量的取值范围是不等于0的一切实数.


    要点诠释:在中,自变量的取值范围是, ()可以写成()的形式,也可以写成的形式.


    要点二、反比例函数解析式的确定


    反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式.


    要点三、反比例函数的图象和性质


    1.反比例函数的图象


    反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.它们关于原点对称,反比例函数的图象与轴、轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.


    要点诠释:


    观察反比例函数的图象可得:和的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,对称中心是坐标原点.


    ①的图象是轴对称图形,对称轴为两条直线;


    ②的图象是中心对称图形,对称中心为原点(0,0);


    ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称,也关于轴对称.





    注:正比例函数与反比例函数,


    当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.





    2.反比例函数的性质


    (1)图象位置与反比例函数性质


    当时,同号,图象在第一、三象限,且在每个象限内,随的增大而减小;当时,异号,图象在第二、四象限,且在每个象限内,随的增大而增大.


    (2)若点()在反比例函数的图象上,则点()也在此图象上,故反比例函数的图象关于原点对称.


    (3)正比例函数与反比例函数的性质比较





    (4)反比例函数y=中的意义


    ①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线,所得矩形的面积为.


    ②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点,所得三角形的面积为.





    要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点


    1.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时,要注意将实际问题转化为数学问题.


    2.列出函数关系式后,要注意自变量的取值范围.


    【典型例题】


    类型一、确定反比例函数的解析式


    1、已知函数是反比例函数,则的值为 .


    【答案】


    【解析】根据反比例函数概念,=且,可确定的值.


    【总结升华】反比例函数要满足以下两点:一个是自变量的次数是-1,另一个是自变量的系数不等于0.


    举一反三:


    【变式】反比例函数图象经过点(2,3),则的值是( ).


    A. B. C. 0D. 1


    【答案】D;


    反比例函数过点(2,3)..


    类型二、反比例函数的图象及性质


    2、已知,反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小,试求的取值范围.


    【思路点拨】由反比例函数性质知,当>0时,在每个象限内随的增大而减小,由此可求出的取值范围,进一步可求出的取值范围.


    【答案与解析】


    解:由题意得:,解得,


    所以,则<3.


    【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键.


    举一反三:


    【变式】已知反比例函数,其图象位于第一、第三象限内,则的值可为________(写出满足条件的一个的值即可).


    【答案】3(满足>2即可).


    3、在函数(,为常数)的图象上有三点(-3,)、(-2,)、(4,),则函数值的大小关系是( )


    A. B. C. D.


    【答案】D;


    【解析】


    ∵ ||>0,∴ -||<0,∴反比例函数的图象在第二、四象限,且在每一个象限里,随增大而增大,(-3,)、(-2,)在第二象限,(4,)在第四象限,∴ 它们的大小关系是:.


    【总结升华】根据反比例函数的性质,比较函数值的大小时,要注意相应点所在的象限,不能一概而论,本题的点(-3,)、(-2,)在双曲线的第二象限的分支上,因为-3<-2,所以,点(4,)在第四象限,其函数值小于其他两个函数值.


    举一反三:


    【变式1】(2014春•海口期中)在同一坐标系中,函数y=和y=kx+3(k≠0)的图象大致是( ).


    A. B.


    C. D.


    【答案】C;


    提示:分两种情况讨论:


    ①当k>0时,y=kx+3与y轴的交点在正半轴,过一、二、三象限,y=的图象在第一、三象限;


    ②当k<0时,y=kx+3与y轴的交点在正半轴,过一、二、四象限,y=的图象在第二、四象限.故选C.





    【变式2】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) .





    【答案】B ;


    提示:因为从B的图像上分析,对于直线来说是,则,对于反比例函数来说,,所以相互之间是矛盾的,不可能存在这样的图形.


    4、(2016•齐齐哈尔)如图,已知点P(6,3),过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,反比例函数y=的图象交PM于点A,交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12,则k= .





    【思路点拨】根据点P(6,3),可得点A的横坐标为6,点B的纵坐标为3,代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标,然后根据四边形OAPB的面积为12,列出方程求出k的值.


    【答案】6.


    【解析】


    解:∵点P(6,3),


    ∴点A的横坐标为6,点B的纵坐标为3,


    代入反比例函数y=得,


    点A的纵坐标为,点B的横坐标为,


    即AM=,NB=,


    ∵S四边形OAPB=12,


    即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12,


    6×3﹣×6×﹣×3×=12,


    解得:k=6.


    故答案为:6.


    【总结升华】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标,代入解析式表示出其坐标,然后根据面积公式求解.


    举一反三:


    【变式】如图,过反比例函数的图象上任意两点A、B,分别作轴的垂线,垂足为,连接OA,OB,与OB的交点为P,记△AOP与梯形的面积分别为,试比较的大小.





    【答案】


    解:∵,


    且,


    ∴.





    类型三、反比例函数与一次函数综合


    5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(-3,4),且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5,分别确定反比例函数和一次函数的表达式.


    【思路点拨】因为点(-3,4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交点,所以把(-3,4)代入中即可求出反比例函数的表达式.欲求一次函数的表达式,有两个待定未知数,已知一个点(-3,4),只需再求一个一次函数图象上的点即可.由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5,则这个交点坐标为(-5,0)或(5,0),分类讨论即可求得一次函数的解析式.


    【答案与解析】


    解:因为函数的图象经过点(-3,4),


    所以,所以=-12.


    所以反比例函数的表达式是.


    由题意可知,一次函数的图象与轴的交点坐标为(5,0)或(-5,0),则分两种情况讨论:


    当直线经过点(-3,4)和(5,0)时,


    有 解得


    所以.


    当直线经过点(-3,4)和(-5,0)时,


    有 解得 所以.


    所以所求反比例函数的表达式为,一次函数的表达式为或.


    【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式,解答本题时要注意分两种情况讨论,不能漏解.


    举一反三:


    【变式】如图所示,A、B两点在函数的图象上.





    (1)求的值及直线AB的解析式;


    (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.


    【答案】


    解:(1)由图象可知,函数的图象经过点A(1,6),可得=6.


    设直线AB的解析式为.


    ∵ A(1,6),B(6,1)两点在函数的图象上,


    ∴ 解得


    ∴ 直线AB的解析式为.


    (2)题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3.


    类型四、反比例函数应用


    6、(2015•兴化市三模)一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示,其中60≤v≤120.


    (1)直接写出v与t的函数关系式;


    (2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地,客车比货车平均每小时多行驶20千米,3小时后两车相遇.


    ①求两车的平均速度;


    ②甲、乙两地间有两个加油站A、B,它们相距200千米,当客车进入B加油站时,货车恰好进入A加油站(两车加油的时间忽略不计),求甲地与B加油站的距离.





    【答案与解析】


    解:(1)设函数关系式为v=,


    ∵t=5,v=120,


    ∴k=120×5=600,


    ∴v与t的函数关系式为v=(5≤t≤10);


    (2)①依题意,得


    3(v+v﹣20)=600,


    解得v=110,


    经检验,v=110符合题意.


    当v=110时,v﹣20=90.


    答:客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时;


    ②当A加油站在甲地和B加油站之间时,


    110t﹣(600﹣90t)=200,


    解得t=4,此时110t=110×4=440;


    当B加油站在甲地和A加油站之间时,


    110t+200+90t=600,


    解得t=2,此时110t=110×2=220.


    答:甲地与B加油站的距离为220或440千米.


    【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题,要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.
    正比例函数
    反比例函数
    解析式
    图 像
    直线
    有两个分支组成的曲线(双曲线)
    位 置
    ,一、三象限;


    ,二、四象限
    ,一、三象限


    ,二、四象限
    增减性
    ,随的增大而增大


    ,随的增大而减小
    ,在每个象限,随的增大而减小


    ,在每个象限,随的增大而增大
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