人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列说课ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列说课ppt课件，共57页。PPT课件主要包含了必备知识·素养奠基，关键能力·素养形成，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
等差数列前n项和公式
【思考】(1)对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为 当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.
(2)等差数列的前n项和公式中 的意义是什么?提示: 即等差数列前n项的平均数.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N*.(　　)(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.(　　)(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.(　　)(4)1+3+5+7+9= (　　)
提示:(1)×.n>1且n∈N*.(2)√.等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…特征,可用倒序相加法.(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4)×.1+3+5+7+9= .
2.在数列{an}中,Sn=2n2-3n(n∈N+),则a4等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.11B.15C.17D.20【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11.
3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}的前8项和为(　　)A.128B.80C.64D.56【解析】选C.设数列{an}的前n项和为Sn,则
4.平均数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为________. 【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1 010= ,解得x=1.答案:1
类型一　有关等差数列前n项和的计算【典例】1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 017,S6-2S3=18,则S2 019= (　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-2 017B.2 017C.2 018D.2 019
2.在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.【思维·引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.
【解析】1.选D.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以 化为:9d=18,解得d=2.则
2.(1)方法一:由已知条件得 解得所以方法二:由已知条件得 所以a1+a10=42,所以 所以a4=6.所以所以n=20.
【内化·悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.
【类题·通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
【习练·破】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________. 【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列{an}为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列{an}的前n项和为 =3n2-2n.答案:3n2-2n
2.已知等差数列{an}中,(1)a1= ,S4=20,求S6;(2)a1= ,d=- ,Sn=-15,求n及an;(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.
【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+ d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以(3)由 解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
【加练·固】1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为(　　)A.20　　　　B.21　　　　C.22　　　　D.24【解析】选A.由数列前n项和公式可得: 解得k=20.
2.已知等差数列{an}.(1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
【解析】(1)因为a15= +(15-1)d=- ,所以d=- .又Sn=na1+ d=-5,解得n=15或n=-4(舍)..(2)由已知,得 解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.
类型二　等差数列前n项和的性质　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【典例】1.(2020·扬州高二检测)已知数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且 则
2.在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于(　　)A.9B.10C.11D.123.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.
【思维·引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出 与n的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;方法二:依据数列 是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.
【解析】1.选C.数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且 则2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以 所以所以n=10.
3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+ d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11×100+ d=11×100+ ×(-22)=-110.方法二:设等差数列{an}的公差为d,则 所以数列 成等差数列. 所以 即所以S110=-110.
方法三:设等差数列{an}的公差为d,S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d,又即100d=-22,所以S110=-110.
【类题·通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则 (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列 是等差数列,且首项为a1,公差为 .
(4)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列,公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;(5)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).(6)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
【习练·破】1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是(　　)A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.
2.在等差数列{an}中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则{an}的前8项和为(　　)A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,解得a2+a7=1,{an}的前8项和= =4.
【加练·固】1.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有 则
【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等差数列的前n项和为:所以所以
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.
类型三　等差数列前n项和的最值【典例】1.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是(　　)A.dS5D.S6和S7均为Sn的最大值
2.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【思维·引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求Sn的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到{an}的通项公式;(2)可以把Sn看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出Sn的最小值.
【解析】1.选C.因为S5S8,所以a6>0,a7=0,a80,由 得所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+ ×(-2)=169.
方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-20,所以a13>0,a140,S2 017S6B.S4=S5C.S60,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________. 【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a50且a5+a9=0⇒2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或7
【新情境·新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:b2019是数列{an}中的第________项.