高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列练习

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[A级 基础巩固]


1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )


A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列


C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列


解析：选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.


2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )


A．5 B．8


C．10 D．14


解析：选B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.


3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )


A．8 B．4


C．6 D．12


解析：选A 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.


4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )


A．a1＋a101＞0 B．a2＋a101＜0


C．a3＋a99＝0 D．a51＝51


解析：选C 根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.


5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )


A．1升 D．eq \f(67,66)升


C.eq \f(47,44)升 D．eq \f(37,33)升


解析：选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝eq \f(67,66)，


故第5节的容积为eq \f(67,66)升．


6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．


解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,d＝－4.))


∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.


答案：－21


7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．


解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，


∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.


∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.


答案：1或2


8．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.


解析：由题设可得eq \f(an,n)－eq \f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq \f(an,n)＝n，所以an＝n2.


答案：n2


9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.


解：法一：由等差数列的性质得


a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.


∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．


∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.


法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.


10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．


解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．


an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，


解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.


当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．


到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．


作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，


当n