高中人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列优秀同步测试题

这是一份高中人教A版 (2019)第四章 数列4.3 等比数列优秀同步测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分)


1.(2020·来宾高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a3-8,且S3=13,则a2=( )


A.-3B.3


C.-D.3或-


【解析】选D.设公比为q,易知q≠1.


由得,


解得或,当时,a2=a1q=3;


当时,a2=a1q=-,


所以a2=3或a2=-.


2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于( )


A.2B.4C.D.


【解析】选C.S4=,a2=a1q,


所以==.


3.设f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N+),则f(n)等于( )


A.(8n-1)B.(8n+1-1)


C.(8n+2-1)D.(8n+3-1)


【解析】选B.f(n)=2+24+27+…+23n+1


==(8n+1-1).


4.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )


A.16B.8C.4D.2


【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,


由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,


因为a1>0且q>0,则可解得q=2,


又因为a1(1+q+q2+q3)=15,


即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.(2020·肇庆高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=-1,S3=-3,则a1=________.


【解析】设等比数列{an}的公比为q.


因为a3=-1,S3=-3,当q=1时,显然满足,


此时a1=-1,


当q≠1时,,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-,a1=-4.


综上,a1=-1或-4.


答案:-1或-4


6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为________.


【解析】显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),


又Sn=(2x·3n-1),所以x=.


答案:


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.等比数列{an}中,a1=2,a7=4a5.


(1)求{an}的通项公式;


(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=126,求m.


【解析】(1)设数列{an}的公比为q,


所以q2==4,所以q=±2,


所以an=2n或an=-(-2)n.


(2)由(1)知Sn==2n+1-2


或Sn==[1-(-2)n],所以2m+1-2=126或[1-(-2)m]=126(舍去),解得m=6.


8.(2020·海淀高二检测)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,n∈N*.


(1)求数列{an}的通项公式;


(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn<100,求n的最大值.


【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.


因为a2=1,a5=8,所以q3==8,故q=2,


所以an=a2qn-2=2n-2.


(2)由(1)知,a1=,


所以Sn==(2n-1)<100,


则2n<201,由于27=128,28=256.


所以n的最大值为7.


(15分钟·30分)


1.(5分)(2020·绍兴高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2S10,则=( )


A.B.-C.D.-


【解析】选D.由S5=2S10,可知q≠1,


则=2×,


整理可得,2q10-q5-1=0,


解得q5=-或q5=1(舍),


则==-.


2.(5分)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000m,此时乌龟便领先他100 m;当阿基里斯跑完下一个100 m时,乌龟仍然领先他10 m;当阿基里斯跑完下一个10 m时,乌龟仍然领先他1 m……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2 m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)


为( )


A.B.


C.D.


【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5== =.


3.(5分)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=________.


【解析】因为a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,…成等比数列,所以S15==11.


答案:11


4.(5分)如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为________.





【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,则{an}是以a1=×22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q≠1,


故这10个三角形的面积和为


S10===.


答案:


5.(10分)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a4=30,试求:


(1)a1和公比q;


(2)前6项的和S6.


【解析】(1)根据题意,在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,则有a1·a2·a3==27,即a2=3,


a2=3时,a4=30-a2=27,有q2==9,即q=±3,


若q=3,则a1==1,若q=-3,则a1==-1,


综上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.


(2)当q=3,a1=1时,前6项的和S6==364;


当q=-3,a1=-1时,


前6项的和S6==182.





1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队长,每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( )


A.(87-8)人


B.(89-8)人


C.8+(87-8)人


D.8+(89-84)人


【解析】选A.该问题中有8名将官,82名先锋,83名旗头,84名队长,85名甲头,86名士兵,


则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+82+83+84+85+86==(87-8)(人).


2.一个热气球在第一分钟上升了30 m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的.这个热气球上升的高度能超过150 m吗?


【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列.


热气球在前n分钟内上升的总高度


Sn=a1+a2+…+an==


=150×<150,


即这个热气球上升的高度不可能超过150 m.





关闭Wrd文档返回原板块