高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(20分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分)


1.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( )


A.f(n)+n+1B.f(n)+n


C.f(n)+n-1D.f(n)+n-2


【解析】选C.边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.


2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步


是( )


A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中k∈N*)


B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中k∈N*)


C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N*)


D.假设n=k时正确,再推n=k+2时正确(其中k∈N*)


【解析】选B.因为n为正奇数,所以n=2k-1(k∈N*).


3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )


A.2B.3C.5D.6


【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.


4.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )


A.k2+1


B.(k+1)2


C.


D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2


【解析】选D.当n=k时,左端=1+2+3+…+k2.当n=k+1时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,


故当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.用数学归纳法证明不等式1+++……+>成立,起始值应取为n=________.


【解析】用等比数列求和公式可得>整理得2n>128⇒n>7,所以n=8.


答案:8


6.(2020·余姚高二检测)若f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=________;第二步“从n=k到n=k+1时”, f(k+1)=f(k)+________.


【解析】f(1)=1+=;


假设当n=k时,f(k)=1+++…+,


那么,当n=k+1时,f(k+1)=1+++…++++,


f(k+1)=f(k)+++.


答案: ++


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N*).


【证明】(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立.


(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立,


即(k+1)(k+2)…(k+k)


=2k·1·3·5…(2k-1),


那么当n=k+1时,


左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)


=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)


=2k·1·3·5…(2k-1)(2k+1)·2


=2k+1·1·3·5…(2k-1)(2k+1)


=2k+1·1·3·5…[2(k+1)-1].


这就是说当n=k+1时等式也成立.


由(1)(2)可知,对所有n∈N*等式成立.


8.用数学归纳法证明对一切,n∈N*,1+++…+≥.


【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边==1,不等式成立.


(2)假设当n=k时,不等式成立,


即1+++…+≥,


则当n=k+1时,


要证1+++…++≥,


只需证+≥.


因为-


=-


=


=≤0,


所以+≥,


即1+++…++≥,


所以当n=k+1时不等式成立.


由(1)(2)知,不等式对一切n∈N*都成立.


(15分钟·30分)


1.(5分)对于不等式

(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.


(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即

=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法( )


A.过程全部正确


B.n=1验得不正确


C.归纳假设不正确


D.从n=k到n=k+1的推理不正确


【解析】选D.在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.


2.(5分)用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边( )


A.增加了一项


B.增加了两项,


C.增加了B中两项但减少了一项


D.以上各种情况均不对


【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项,,少了一项.


3.(5分)平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=


f(k)+________.


【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.


答案:k+1


4.(5分)用数学归纳法证明…1+>(k>1),则当n=k+1时,左端应乘上__________,这个乘上去的代数式共有因式的个数是________.


【解析】因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是,最后一个是,根据等差数列通项公式可求得共有+1=2k-2k-1


=2k-1项.


答案:… 2k-1


5.(10分)已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*)且点P1的坐标为(1,-1).


(1)求过点P1,P2的直线l的方程.


(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点Pn都在(1)中的直线l上.


【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.


所以b2==.a2=a1·b2=.


所以点P2的坐标为,


所以直线l的方程为2x+y=1.


(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.


②假设当n=k(k∈N*)时,2ak+bk=1成立,


则当n=k+1时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1


=(2ak+1)===1,


所以当n=k+1时,命题也成立.


由①②知,对于n∈N*,都有2an+bn=1,


即点Pn在直线l上.





(2020·南阳高二检测)设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.


(1)当n=1,2,3,4时,试比较与1的大小;


(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.


【解析】(1)因为f(1)=12=1,g(1)=21=2,


所以f(1)

因为f(2)=23=8,g(2)=32=9,


所以f(2)

因为f(3)=34=81,g(3)=43=64,


所以f(3)>g(3),>1.


因为f(4)=45=1 024,g(4)=54=625,


所以f(4)>g(4),>1.


(2)猜想:当n≥3,n∈N*时,有>1.


证明:①当n=3时,猜想成立.


②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时猜想成立,


=>1.


当n=k+1时,=


=·>.


因为(k+1)2=k2+2k+1>k(k+2)>0,


所以>1,则>1,


即>1,所以当n=k+1时,猜想成立,由①②知,当n≥3,n∈N*时,有>1.





关闭Wrd文档返回原板块