热点03 集合与充要条件-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)
展开热点03 集合与充要条件
【命题形式】
新高考中对于集合与简易逻辑这章内容相比以前有所删减，删除了命题及其关系和逻辑联结词内容，留下集合及其运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词内容，下面就对这几方面的内容进行解读。
集合：
1.集合的概念与表示，多与不等式的解集等结合确定集合中的元素或元素个数,明确集合中的元素是点集还是数集，明确元素的特征意义.
2.判断集合间的关系，确定给定集合子集的个数.解题时注意两个方面：给定集合的元素是什么；集合的元素间有何关系.
3.集合的交、并、补运算，新定义题，多与不等式、函数等结合命题..
趋势：以选择题的第1题或第2题的形式主要考查集合的基本运算，与不等式结合的可能性比较大。.
充分条件与必要条件
充要条件及量词在往年的高考中经常出现，其中山东自主命题几乎每年都考，全国卷I偶尔出现，分值控制在5～10分。从题目的难易度来看属于中等偏下的难度，多以选择题的形式出现，偶尔有填空题，整体考察不是很多。
趋势：仍然会以充要条件或量词的否定形式出现，选择题的可能性比较大，填空题也有可能，但出一个题的可能性大。
【满分技巧】
1、命题主要两大题型：基本型和交汇型
基本型题型特点：主要考查集合的基本概念和基本运算，这是高考考查集合的主要方式，几乎每年必考.
破解技巧：常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等.
交汇型题型特点：主要是将集合与不等式、函数、解析几何等知识进行交汇，形成多知识点的综合问题.
破解技巧：解题的关键在于灵活运用有关知识。
2、充分、必要条件的判断现在主要就2种：
定义法：可按照以下三个步骤进行
（1）确定条件是什么，结论是什么；
（2）尝试由条件推结论，由结论推条件；
（3）确定条件和结论的关系。
集合法：根据条件，结论成立时对应的集合之间的包含进行判断。
如果，我们可以形象地认为p是q的“子集”；
如果，我们认为p不是q的“子集”。
根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下：
图2反映了p是q的充分不必要条件时的情形；
图3反映了p是q的必要不充分条件时的情形；
图4反映了p是q的充要条件时的情形；
图5、图6反映了p是q的既不充分也不必要条件时的情形。
【常考知识】此类考题常与函数、不等式、三角函数、圆锥曲线、立体几何等相结合。
【限时检测】（建议用时：40分钟）
一、单选题
1．（2020·新高考山东卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
【答案】C
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（2020·天津市高考卷）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
3．（2020·浙江省高考卷）已知集合P=，，则PQ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．（2020·全国新课标Ⅲ理科试卷）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
6．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵集合∴∵集合∴
∴∵集合∴
故选B.
7．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
，∴．
故选：C.
8．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】,
或，
.
故选：C.
9．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合，集合，则集合等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题得，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，函数的定义域、解不等式问题，属于基础题.
10．（2020·福建高三其他模拟）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】因为命题“，”为全称命题，
所以该命题的否定是“，”.
故选：C.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
11．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
12．（2020·福建莆田·高三其他模拟）“”是“且”的( )
A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，可得，⇔或，
∴“”是“且”的必要不充分条件，
故选：A.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，此类问题应根据两个条件构造的原命题和逆命题的真假来判断条件关系.
13．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
14．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，能够推出，故选A.
15．（2020·海南高三一模）已知双曲线：，则“”是“直线是的一条渐近线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，双曲线方程为，以渐近线方程为，满足充分性；
反之，双曲线的一条渐近线方程为时，任意的均可，不满足必要性.
故选：A
16．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三其他模拟）“”是“为锐角三角形”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】以为起点的两个向量数量积大于零，
夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，
在中，“”不能推出“为锐角三角形”，
为锐角三角形，
，
前者是后者的必要不充分条件，
故选：．
【点睛】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
17．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）若，，是的三条边，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若“是等腰三角形”，则当，则不一定成立，
若，则，
即，
即，，，
则，
则“是等腰三角形”成立，
即“”是“是等腰三角形”充分不必要条件，
故选：.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键.比较基础.
18．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解关于的不等式得：，
又“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
故只需即可，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由必要不充分条件求参数，属于基础题型.
19．（2020·吉林高三其他模拟（文））已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若直线与圆相交，则到直线的距离小于，即，解得．
若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆外，，
由此可得，若函数的图象与圆有四个公共点，则．
故“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，其中涉及直线与圆的位置关系，属于基础题.
二、多选题
20．（2021·福建高三其他模拟）下列四个条件中，是的充分条件的是（ ）
A．， B．为双曲线，
C．， D．，
【答案】BC
【详解】对于A，若，则，故 p不是q的充分条件；
对于B，若为双曲线，则异号，即，故 p是q的充分条件；
对于C，单调递增，当时，，故 p是q的充分条件；
对于D，当时，成立，不成立，故不是q的充分条件.
故选：BC.
【点睛】本题考查充分条件的判断，属于基础题.
