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初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试精品习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试精品习题，共45页。试卷主要包含了2三角形全等的判定， 如图，，，于D，，则的长度为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．两个三角形中，有两边及一角对应相等，那么这两个三角形（ ）
A．一定全等B．不一定全等C．一定不全等D．以上都不对
2．如图，已知∠B＝∠D，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．∠BAC＝∠DACB．AC＝ACC．AB＝ADD．CB＝CD
3．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝75°，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
4．如图，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．AD＝AEB．AB＝ACC．BE＝CDD．∠AEB＝∠ADC
5．如图，已知∠B＝∠D，AB＝ED，点D，C，F，B在同一直线上，要使△ABC≌△EDF，则下列条件添加错误的是（ ）
A．∠A＝∠EB．BF＝DCC．AC∥EFD．AC＝EF
6．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7B．5C．3D．2
8．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝3B．∠F＝35°C．DF＝5D．AB∥DE
9．如图，E是∠BAC的平分线AD上任意一点，且AB＝AC，则图中全等三角形有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
10．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点，顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，平面直角坐标系中每小方格边长单位1，以AB为一边的格点△ABP与△ABC全等（重合除外），则方格中符合条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．AD是△ABC的边BC上的中线，若AD＝4，AC＝5，则AB的取值范围是 ．
12．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，要使AC＝DF，可以补充的条件是： ．（填一个即可）
13．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．则∠APN＝ ．
14．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系 ．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论：
①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF．
其中正确的是 （把所有正确的答震的序号都填在横线上）
三．解答题
16．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE．
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．
17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
18．如图所示，已知点D为△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F．且BF＝CE．求证：
（1）∠B＝∠C；
（2）AD平分∠BAC．
19．八年级数学社团活动课上，《致远组》同学讨论了这样一道题目：
如图所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE．试说明：∠ADC＝∠AEB．
其中一个同学的解法是这样的：
在△ACD和△ABE中，，
所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC＝∠AEB．
这种解法遭到了其他同学的质疑．理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等．请你给出正确的解法．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：两个三角形中，有两边及一角对应相等，那么这两个三角形不一定全等．
比如：如图，△ABC，△ACD中，有AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，两个三角形不全等．
故选：B．
2．【解答】解：A、添加∠BAC＝∠DAC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；
B、AC是公共边，属于已知条件，不能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加AB＝AD，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB＝CD时，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：A．
3．【解答】证明：∵AD＝BD，AD⊥BC
∴∠BAD＝∠ABD＝45°
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°
∵AD＝BD，∠ADB＝∠ADC，DE＝DC
∴△BDE≌△ADC（SAS）
∴∠DAC＝∠DBE＝30°
故选：C．
4．【解答】解：已知∠B＝∠C，∠A＝∠A，
若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；
若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；
若添加BE＝CD，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；
若添加∠ADC＝∠BEA，不能证明△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
5．【解答】A、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；
B、由BF＝DC得出BC＝DF，根据∠B＝∠D，BF＝DC，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；
C、由AC∥EF，得出∠ACB＝∠EFD，根据∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△EDF，故本选项正确；
故选：D．
6．【解答】解：①∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1＝∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵AB＝CE，
∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④，共两个．
故选：B．
7．【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7，
∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5，
故选：B．
8．【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，BC＝EF＝5，
∴AB∥DE，
∵EC＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝3，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣75°＝35°，
∴∠F＝35°，
即选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
9．【解答】解：∵E是角平分线AD上任意一点
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AC，AE＝AE
∴△ABE≌△ACE（SAS），BE＝EC
∵AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS），BD＝DC
∵BE＝EC，BD＝DC，DE＝DE
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
故选：B．
10．【解答】解：如图所示：平面直角坐标系中每小方格边长单位1，以AB为一边的格点△ABP与△ABC全等（重合除外），则方格中符合条件的点P有3个；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
则AE＝2AD＝2×4＝8，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
又∵AC＝5，
∴5+8＝13，8﹣5＝3，
∴3＜CE＜13，
即AB的取值范围是：3＜AB＜13．
故答案为3＜AB＜13．
12．【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵AB＝DE，
要使AC＝DF，只要△ABC≌△DEF，
根据SAS只要添加：BC＝EF或BF＝EC，
根据AAS只要添加：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF，
故答案为：BC＝EF或BF＝EC或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF．
13．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°，
∴∠APN的度数为108°，
故答案为108°
14．【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（ASA），
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分线段BD．
故答案为：AC垂直平分线段BD．
15．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝BDAH，S△ACD＝CDAH，
∴S△ABD＝S△ACD；故①正确；
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°，
故②正确；
没有条件能够证明MF＝BE，故③错误；
延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵∠BDE＝∠CDG，
∴∠FDC+∠CDG＝90°，
即∠EDF＝∠FDG，
在△EFD和△GFD中，，
∴△EFD≌△GFD（SAS），
∴EF＝FG，
在△BDE和△CDG中，，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，
在△CFG中，由三角形三边关系定理得：CF+CG＞FG，
∵CG＝BE，FG＝EF，
∴BE+CF＞EF．故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC与△AEB中，
，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD＝AE；
（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：
如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴AO平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC．
17．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
18．【解答】证明：（1）∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠C．
（2）∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BD＝DC，
∴AD平分∠BAC．
19．【解答】证明：因为∠BAC是钝角，故过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足分别为F，G，
在△ABF与△ACG中
，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF＝CG，
在Rt△BEF和Rt△CDG中
，
∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL），
∴∠ADC＝∠AEB．
12.3角平分线性质与判定
一、选择题
1. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB.垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是 ( )
A. PC=PD B. OD=OC C. ∠DPO=∠CPO D. PC=OC
2. 如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM=3，N是OB上一个动点，则线段PN的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若，DE=2，AB=4，则AC=( )
A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
4. 如图，AD是△ABC中的角平分线，于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为 ( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 不能确定
6. 如图，△ABC中， ，点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，点D，E，F分别是垂足，且AB=10 cm，BC=8 cm，CA=6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为( )
A. 2 cm，2 cm，2 cm B. 3 cm，3 cm，3 cm
C. 4 cm，4 cm，4 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm
7. 如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，，，于D，，则的长度为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
10. 如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是 ( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
11. 如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为 ( )
A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 无法确定
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为( )
A. 18 B. 32 C. 28 D. 24
13. 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP，其中正确的是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
14. 如图所示，点,分别是,平分线上的点，于点，于点，于点，下列结论错误的是( )
A. B. 与互余的角有两个
C. D. 点是的中点
15. 如图，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
16. 如图，，于C，于D，若QC=QD，则______°.
17. 如图，在△ABC中，，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线，若CD=3，则△ABD的面积为______.
18. 如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______.
19. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有____.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=30°，E为AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的度数为____.
21. 如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是____.
22. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.
23. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则_______°.
24. 如图所示，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则__________.
三、解答题
25. 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
26. 如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.
求证：
(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上.
27. 如图，在△ABC中，CA=CB，，AD平分，于点E，AB=10 cm.求△BED的周长.
28. 如图所示，，平分，.求的度数.
30. 如图所示，,分别是△ABC 的两条角平分线，且相交于点，求证点在的平分线上.
31. 如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
32. 已知：如图所示，，于，于点，交于点.求证：平分.
33. 如图，,分别是△ABC的外角和的平分线，它们交于点，于，于，求证：为的平分线.
34. 如图所示，在中，分别延长的边，到，，与的平分线相交点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
(1)上述规律，若，则 ；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系；
(3)请说明第2题中结论的正确性.
35. 在△ABC中，AD是的平分线.
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长.
36. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线.请结合图形说明理由.
37. 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：
(1)使其到两公路的距离相等；
(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置.
四、证明题
38. 已知：如图，在中，，，是的平分线，求证：.
39. 如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
40. 如图，，点是的中点，则平分，为什么？
41. 如图所示，射线OM，ON是两条公路，点A，B，C，D是四个小商店，其中A，B在公路OM上，C，D在公路ON上，且AB=CD，点P是一座购物商场，若，则商场P的位置恰好在的平分线上，为什么？
角平分线性质与判定练习
参考答案
一、选择题
1. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB.垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是 ( )
A. PC=PD B. OD=OC C. ∠DPO=∠CPO D. PC=OC
【答案】D
【解析】根据角平分线的性质知PC=PD，由PD=PC，OP=OP知Rt△POD≌Rt△POC，所以∠DPO=∠CPO，OD=OC.
2. 如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM=3，N是OB上一个动点，则线段PN的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】过点P作PQ⊥OB，垂足为Q，当N与Q重合时PN的值最小，由角平分线的性质知PQ=PM=3.故PN的最小值为3,故选B.
3. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若，DE=2，AB=4，则AC=( )
A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=2.∵AB=4，∴.∵，∴，∴.故选B.
4. 如图，AD是△ABC中的角平分线，于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】如图，过点D作于F，∵AD是△ABC中的角平分线，
，∴DE=DF，由图可知，.
∴，解得AC=3.故选A.
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为 ( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 不能确定
【答案】B
【解析】由题意知∠C=∠AED=90°，又因为AD平分∠CAB，所以DE=DC.易证△ADE≌△ADC，
所以AE=AC.△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6 cm,故选B.
6. 如图，△ABC中， ，点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，点D，E，F分别是垂足，且AB=10 cm，BC=8 cm，CA=6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为( )
A. 2 cm，2 cm，2 cm B. 3 cm，3 cm，3 cm
C. 4 cm，4 cm，4 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm
【答案】A
【解析】点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，所以OF=OD=OE，根据，得AB·OF+BC·OD+AC·OE=48，所以OF= OD=OF=2 cm.
7. 如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】根据垂线段最短，得当时，PQ的值最小.又OP是的平分线，，所以PA=PQ=4.故选D.
8. 如图，，，于D，，则的长度为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】作于，根据角平分线的性质可行，根据平行线的性质可得，由直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得，故选D.
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】本题考查角平分线的性质.
过点P作PE⊥BC于E, 则点P到BC的距离是PE.
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD.
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD.
∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4.故选C.
10. 如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是 ( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
【答案】D
【解析】根据三角形全等的判定方法，由SAS可判定△ABE≌△ACF；由AAS可判定△BDF≌△CDE；连接AD，由SAS可判定△ACD≌△ABD，所以∠CAD=∠BAD，D在∠BAC的平分线上.故①②③均正确.
11. 如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为 ( )
A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 无法确定
【答案】B
【解析】如图,过点P作PM⊥AB于M，并反向延长交CD于点N，则PN⊥CD，且MN的长为AB与CD之间的距离.由角平分线的性质得PM=PE，PN=PE，∴MN=PM+PN=2PE=6 cm.
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为( )
A. 18 B. 32 C. 28 D. 24
【答案】C
【解析】由BC=64，且BD:DC=9:7，可求得DC=28.
过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，所以DE=DC=28,故选C.
13. 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP，其中正确的是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
【答案】C
【解析】连接AP，由PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，知AP平分∠BAC，所以∠RAP=∠QAP.因为AQ=PQ，所以∠QAP=∠QPA，所以∠RAP=∠QPA，所以QP∥AR.易证Rt△APR≌Rt△APS.所以AR=AS.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP，故选C.
14. 如图所示，点,分别是,平分线上的点，于点，于点，于点，下列结论错误的是( )
A. B. 与互余的角有两个
C. D. 点是的中点
【答案】B
【解析】∵平分，∴，又，，∴△BCO≌△BEO ，同理，△AOD≌△AOE ，∴，，∴.故A正确.
∵，，∴，即，故C正确.∵△BCO≌△BEO ，△AOD≌△AOE ，∴，，∴，即点是的中点.故D正确.
15. 如图，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】∵三角形内角平分线的变点到三角形三边的距离相等，∴三角形内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作，，，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足此条件的点有3个，综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个.故选D.
二、填空题
16. 如图，，于C，于D，若QC=QD，则______°.
【答案】35
【解析】∵，，QC=QD，∴点Q在的平分线上，∴，∵，∴.
17. 如图，在△ABC中，，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线，若CD=3，则△ABD的面积为______.
【答案】15
【解析】作于E.∵AD平分，，，∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为.故答案是15.
18. 如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______.
【答案】115°
【解析】因为BE是的平分线，，所以.因为AD是BC的垂直平分线，所以，，
所以.
19. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有____.
【答案】①②③④
【解析】在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，AD为公共边，∴△ADE≌△ADF，∴∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，故①②正确.∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等，③正确.根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确.故填①②③④.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=30°，E为AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的度数为____.
【答案】15°
【解析】在△ABC中，D为BC的中点，AB=AC，∴AD为∠BAC的平分线，AD⊥BC.∵∠BAD=30°，∴∠DAE=30°，
又∵AD=AE，∴∠ADE=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
21. 如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是____.
【答案】31.5
【解析】作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA，
∵BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF.
22. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.
【答案】5
【解析】∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP，
∵AB∥PD，∴∠ABP=∠BPD，∴∠DBP=∠BPD，∴PD=BD，同理可得PE=EC，∴△PDE的周长=PD+PE+DE=BD+EC+DE=BC=5 cm.
23. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则_______°.
【答案】35
【解析】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD，∴点Q在∠AOB的平分线上，∴，∵∠AOB=70°，∴35°.
24. 如图所示，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则__________.
【答案】
【解析】∵的平分线与的平分线交于点，∴，，
又∵，∴.∵在四边形中，，∴.
∴.
三、解答题
25. 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【答案】解：如图，，点在上，，垂足分别为,，求证.
证明：∵，，∴.
在△PDO 和△PEO中，∴△PDO≌△PEO (AAS).∴，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
26. 如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.
求证：
(1)PE=PF；
【答案】连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°. ∵AE=AF，AP=AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，∴PE=PF.
(2)点P在∠BAC的平分线上.
【答案】由第1问知Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴点P在∠BAC的平分线上.
27. 如图，在△ABC中，CA=CB，，AD平分，于点E，AB=10 cm.求△BED的周长.
【答案】∵，，
∴CD=DE.又∵AD=AD，∴，∴，AC=AE，∴BD+DE=BD+DC=BC.
∵AC=CB，∴BD+DE=BC=CA=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB=10 cm，∴△BED的周长为10 cm.
28. 如图所示，，平分，.求的度数.
【答案】50°
【解析】∵，∴.∵平分，∴，∵，∴.
29. 如图，在△ABC中，，，CE平分，于D，于F，求的度数.
【答案】∵，，，∴.
∵CE平分，∴.
又∵，∴，
∴，
∵，∴.
30. 如图所示，,分别是△ABC 的两条角平分线，且相交于点，求证点在的平分线上.
【答案】证明：如图，过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为,,.∴.同理， .∴.∴点在的平分线上.
31. 如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
【答案】点P在∠AOB的平分线上.
理由：如图所示，作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.
∵,，
，
∴=.
又∵FG=MN，∴PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.
32. 已知：如图所示，，于，于点，交于点.求证：平分.
【答案】证明：∵，，∴.
在△BDE 和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴，
又∵，，∴平分.
33. 如图，,分别是△ABC的外角和的平分线，它们交于点，于，于，求证：为的平分线.
【答案】证明：如图，过点作于.∵，，,分别是和的平分线，∴，，∴.
又∵，，∴点在的平分线上，∴为的平分线.
34. 如图所示，在中，分别延长的边，到，，与的平分线相交点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
(1)上述规律，若，则 ；
【答案】15°
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系；
【答案】.
(3)请说明第2题中结论的正确性.
【答案】证明：因为是的一个外角，
所以.
因为是的平分线，
所以.
同理，可得.
因为，
所以
.
35. 在△ABC中，AD是的平分线.
(1)如图①，求证：；
【答案】证明：如图，作于E，于F.
∵AD是的平分线，∴DE=DF.
∴.
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
【答案】证明：∵BD=CD，∴.
由第1问知，
∴，∴AB=AC.
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长.
【答案】如图，过A作，垂足为M.
∵，，∴，
由第1问知，∴.又BC=6，∴.
36. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线.请结合图形说明理由.
【答案】在和中，，，，∴，∴，即平分.
37. 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：
(1)使其到两公路的距离相等；
(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置.
【答案】解:如图，连接，作的平分线交于点，则点就是所要建超市的位置.
四、证明题
38. 已知：如图，在中，，，是的平分线，求证：.
【答案】证明 :∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴，∴，
在中，∵，
∴，
.
39. 如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
【答案】过点M作于N.
∵DM平分， ，
∴CM=MM.又M是BC的中点，
∴CM=BM，∴MN=MB.
又∵，∴，∴AM平分.
40. 如图，，点是的中点，则平分，为什么？
【答案】如图，
连接.点是的中点，∴.
在和中，∵，
∴.
在和中，∴，
∴，∴，∴平分.
41. 如图所示，射线OM，ON是两条公路，点A，B，C，D是四个小商店，其中A，B在公路OM上，C，D在公路ON上，且AB=CD，点P是一座购物商场，若，则商场P的位置恰好在的平分线上，为什么？
【答案】过点P作于点E，于点F，如图所示.
∵，，，
∴AB·PE=CD·PF.∵AB=CD，∴PE=PF.∴点P在的平分线上.
一．选择题
1．两个三角形中，有两边及一角对应相等，那么这两个三角形（ ）
A．一定全等B．不一定全等C．一定不全等D．以上都不对
2．如图，已知∠B＝∠D，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．∠BAC＝∠DACB．AC＝ACC．AB＝ADD．CB＝CD
3．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝75°，则∠DBE的度数是（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
4．如图，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．AD＝AEB．AB＝ACC．BE＝CDD．∠AEB＝∠ADC
5．如图，已知∠B＝∠D，AB＝ED，点D，C，F，B在同一直线上，要使△ABC≌△EDF，则下列条件添加错误的是（ ）
A．∠A＝∠EB．BF＝DCC．AC∥EFD．AC＝EF
6．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7B．5C．3D．2
8．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝3B．∠F＝35°C．DF＝5D．AB∥DE
9．如图，E是∠BAC的平分线AD上任意一点，且AB＝AC，则图中全等三角形有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
10．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点，顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，平面直角坐标系中每小方格边长单位1，以AB为一边的格点△ABP与△ABC全等（重合除外），则方格中符合条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．AD是△ABC的边BC上的中线，若AD＝4，AC＝5，则AB的取值范围是 ．
12．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，要使AC＝DF，可以补充的条件是： ．（填一个即可）
13．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．则∠APN＝ ．
14．如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系 ．
15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论：
①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF．
其中正确的是 （把所有正确的答震的序号都填在横线上）
三．解答题
16．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE．
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．
17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
18．如图所示，已知点D为△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F．且BF＝CE．求证：
（1）∠B＝∠C；
（2）AD平分∠BAC．
19．八年级数学社团活动课上，《致远组》同学讨论了这样一道题目：
如图所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE．试说明：∠ADC＝∠AEB．
其中一个同学的解法是这样的：
在△ACD和△ABE中，，
所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC＝∠AEB．
这种解法遭到了其他同学的质疑．理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等．请你给出正确的解法．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：两个三角形中，有两边及一角对应相等，那么这两个三角形不一定全等．
比如：如图，△ABC，△ACD中，有AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，两个三角形不全等．
故选：B．
2．【解答】解：A、添加∠BAC＝∠DAC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；
B、AC是公共边，属于已知条件，不能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加AB＝AD，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB＝CD时，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：A．
3．【解答】证明：∵AD＝BD，AD⊥BC
∴∠BAD＝∠ABD＝45°
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°
∵AD＝BD，∠ADB＝∠ADC，DE＝DC
∴△BDE≌△ADC（SAS）
∴∠DAC＝∠DBE＝30°
故选：C．
4．【解答】解：已知∠B＝∠C，∠A＝∠A，
若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；
若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；
若添加BE＝CD，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；
若添加∠ADC＝∠BEA，不能证明△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
5．【解答】A、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；
B、由BF＝DC得出BC＝DF，根据∠B＝∠D，BF＝DC，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；
C、由AC∥EF，得出∠ACB＝∠EFD，根据∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△EDF，故本选项正确；
故选：D．
6．【解答】解：①∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1＝∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵AB＝CE，
∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④，共两个．
故选：B．
7．【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7，
∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5，
故选：B．
8．【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，BC＝EF＝5，
∴AB∥DE，
∵EC＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝3，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣75°＝35°，
∴∠F＝35°，
即选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
9．【解答】解：∵E是角平分线AD上任意一点
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AC，AE＝AE
∴△ABE≌△ACE（SAS），BE＝EC
∵AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SAS），BD＝DC
∵BE＝EC，BD＝DC，DE＝DE
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
故选：B．
10．【解答】解：如图所示：平面直角坐标系中每小方格边长单位1，以AB为一边的格点△ABP与△ABC全等（重合除外），则方格中符合条件的点P有3个；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
则AE＝2AD＝2×4＝8，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
又∵AC＝5，
∴5+8＝13，8﹣5＝3，
∴3＜CE＜13，
即AB的取值范围是：3＜AB＜13．
故答案为3＜AB＜13．
12．【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵AB＝DE，
要使AC＝DF，只要△ABC≌△DEF，
根据SAS只要添加：BC＝EF或BF＝EC，
根据AAS只要添加：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF，
故答案为：BC＝EF或BF＝EC或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥DF．
13．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°，
∴∠APN的度数为108°，
故答案为108°
14．【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（ASA），
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分线段BD．
故答案为：AC垂直平分线段BD．
15．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝BDAH，S△ACD＝CDAH，
∴S△ABD＝S△ACD；故①正确；
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°，
故②正确；
没有条件能够证明MF＝BE，故③错误；
延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵∠BDE＝∠CDG，
∴∠FDC+∠CDG＝90°，
即∠EDF＝∠FDG，
在△EFD和△GFD中，，
∴△EFD≌△GFD（SAS），
∴EF＝FG，
在△BDE和△CDG中，，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，
在△CFG中，由三角形三边关系定理得：CF+CG＞FG，
∵CG＝BE，FG＝EF，
∴BE+CF＞EF．故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC与△AEB中，
，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD＝AE；
（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：
如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴AO平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC．
17．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
18．【解答】证明：（1）∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠C．
（2）∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BD＝DC，
∴AD平分∠BAC．
19．【解答】证明：因为∠BAC是钝角，故过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足分别为F，G，
在△ABF与△ACG中
，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF＝CG，
在Rt△BEF和Rt△CDG中
，
∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL），
∴∠ADC＝∠AEB．
12.3角平分线性质与判定
一、选择题
1. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB.垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是 ( )
A. PC=PD B. OD=OC C. ∠DPO=∠CPO D. PC=OC
2. 如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM=3，N是OB上一个动点，则线段PN的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若，DE=2，AB=4，则AC=( )
A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
4. 如图，AD是△ABC中的角平分线，于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为 ( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 不能确定
6. 如图，△ABC中， ，点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，点D，E，F分别是垂足，且AB=10 cm，BC=8 cm，CA=6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为( )
A. 2 cm，2 cm，2 cm B. 3 cm，3 cm，3 cm
C. 4 cm，4 cm，4 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm
7. 如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，，，于D，，则的长度为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
10. 如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是 ( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
11. 如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为 ( )
A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 无法确定
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为( )
A. 18 B. 32 C. 28 D. 24
13. 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP，其中正确的是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
14. 如图所示，点,分别是,平分线上的点，于点，于点，于点，下列结论错误的是( )
A. B. 与互余的角有两个
C. D. 点是的中点
15. 如图，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
16. 如图，，于C，于D，若QC=QD，则______°.
17. 如图，在△ABC中，，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线，若CD=3，则△ABD的面积为______.
18. 如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______.
19. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有____.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=30°，E为AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的度数为____.
21. 如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是____.
22. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.
23. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则_______°.
24. 如图所示，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则__________.
三、解答题
25. 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
26. 如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.
求证：
(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上.
27. 如图，在△ABC中，CA=CB，，AD平分，于点E，AB=10 cm.求△BED的周长.
28. 如图所示，，平分，.求的度数.
30. 如图所示，,分别是△ABC 的两条角平分线，且相交于点，求证点在的平分线上.
31. 如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
32. 已知：如图所示，，于，于点，交于点.求证：平分.
33. 如图，,分别是△ABC的外角和的平分线，它们交于点，于，于，求证：为的平分线.
34. 如图所示，在中，分别延长的边，到，，与的平分线相交点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
(1)上述规律，若，则 ；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系；
(3)请说明第2题中结论的正确性.
35. 在△ABC中，AD是的平分线.
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长.
36. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线.请结合图形说明理由.
37. 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：
(1)使其到两公路的距离相等；
(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置.
四、证明题
38. 已知：如图，在中，，，是的平分线，求证：.
39. 如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
40. 如图，，点是的中点，则平分，为什么？
41. 如图所示，射线OM，ON是两条公路，点A，B，C，D是四个小商店，其中A，B在公路OM上，C，D在公路ON上，且AB=CD，点P是一座购物商场，若，则商场P的位置恰好在的平分线上，为什么？
角平分线性质与判定练习
参考答案
一、选择题
1. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB.垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是 ( )
A. PC=PD B. OD=OC C. ∠DPO=∠CPO D. PC=OC
【答案】D
【解析】根据角平分线的性质知PC=PD，由PD=PC，OP=OP知Rt△POD≌Rt△POC，所以∠DPO=∠CPO，OD=OC.
2. 如图，若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M点，PM=3，N是OB上一个动点，则线段PN的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】过点P作PQ⊥OB，垂足为Q，当N与Q重合时PN的值最小，由角平分线的性质知PQ=PM=3.故PN的最小值为3,故选B.
3. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若，DE=2，AB=4，则AC=( )
A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=2.∵AB=4，∴.∵，∴，∴.故选B.
4. 如图，AD是△ABC中的角平分线，于点E，，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】如图，过点D作于F，∵AD是△ABC中的角平分线，
，∴DE=DF，由图可知，.
∴，解得AC=3.故选A.
5. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB的周长为 ( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 不能确定
【答案】B
【解析】由题意知∠C=∠AED=90°，又因为AD平分∠CAB，所以DE=DC.易证△ADE≌△ADC，
所以AE=AC.△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6 cm,故选B.
6. 如图，△ABC中， ，点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，点D，E，F分别是垂足，且AB=10 cm，BC=8 cm，CA=6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别为( )
A. 2 cm，2 cm，2 cm B. 3 cm，3 cm，3 cm
C. 4 cm，4 cm，4 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm
【答案】A
【解析】点O为△ABC的三条角平分线的交点，，，，所以OF=OD=OE，根据，得AB·OF+BC·OD+AC·OE=48，所以OF= OD=OF=2 cm.
7. 如图，OP平分，于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】根据垂线段最短，得当时，PQ的值最小.又OP是的平分线，，所以PA=PQ=4.故选D.
8. 如图，，，于D，，则的长度为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】作于，根据角平分线的性质可行，根据平行线的性质可得，由直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得，故选D.
9.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】本题考查角平分线的性质.
过点P作PE⊥BC于E, 则点P到BC的距离是PE.
∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD.
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD.
∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4.故选C.
10. 如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是 ( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
【答案】D
【解析】根据三角形全等的判定方法，由SAS可判定△ABE≌△ACF；由AAS可判定△BDF≌△CDE；连接AD，由SAS可判定△ACD≌△ABD，所以∠CAD=∠BAD，D在∠BAC的平分线上.故①②③均正确.
11. 如图所示，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为 ( )
A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 无法确定
【答案】B
【解析】如图,过点P作PM⊥AB于M，并反向延长交CD于点N，则PN⊥CD，且MN的长为AB与CD之间的距离.由角平分线的性质得PM=PE，PN=PE，∴MN=PM+PN=2PE=6 cm.
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=64，且BD:DC=9:7，则点D到AB边的距离为( )
A. 18 B. 32 C. 28 D. 24
【答案】C
【解析】由BC=64，且BD:DC=9:7，可求得DC=28.
过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，所以DE=DC=28,故选C.
13. 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP，其中正确的是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
【答案】C
【解析】连接AP，由PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，知AP平分∠BAC，所以∠RAP=∠QAP.因为AQ=PQ，所以∠QAP=∠QPA，所以∠RAP=∠QPA，所以QP∥AR.易证Rt△APR≌Rt△APS.所以AR=AS.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP，故选C.
14. 如图所示，点,分别是,平分线上的点，于点，于点，于点，下列结论错误的是( )
A. B. 与互余的角有两个
C. D. 点是的中点
【答案】B
【解析】∵平分，∴，又，，∴△BCO≌△BEO ，同理，△AOD≌△AOE ，∴，，∴.故A正确.
∵，，∴，即，故C正确.∵△BCO≌△BEO ，△AOD≌△AOE ，∴，，∴，即点是的中点.故D正确.
15. 如图，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】∵三角形内角平分线的变点到三角形三边的距离相等，∴三角形内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作，，，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足此条件的点有3个，综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个.故选D.
二、填空题
16. 如图，，于C，于D，若QC=QD，则______°.
【答案】35
【解析】∵，，QC=QD，∴点Q在的平分线上，∴，∵，∴.
17. 如图，在△ABC中，，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线，若CD=3，则△ABD的面积为______.
【答案】15
【解析】作于E.∵AD平分，，，∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为.故答案是15.
18. 如图，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______.
【答案】115°
【解析】因为BE是的平分线，，所以.因为AD是BC的垂直平分线，所以，，
所以.
19. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.下列结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有____.
【答案】①②③④
【解析】在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，AD为公共边，∴△ADE≌△ADF，∴∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，故①②正确.∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等，③正确.根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确.故填①②③④.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=30°，E为AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的度数为____.
【答案】15°
【解析】在△ABC中，D为BC的中点，AB=AC，∴AD为∠BAC的平分线，AD⊥BC.∵∠BAD=30°，∴∠DAE=30°，
又∵AD=AE，∴∠ADE=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
21. 如图所示，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是____.
【答案】31.5
【解析】作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA，
∵BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF.
22. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.
【答案】5
【解析】∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP，
∵AB∥PD，∴∠ABP=∠BPD，∴∠DBP=∠BPD，∴PD=BD，同理可得PE=EC，∴△PDE的周长=PD+PE+DE=BD+EC+DE=BC=5 cm.
23. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则_______°.
【答案】35
【解析】∵QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD，∴点Q在∠AOB的平分线上，∴，∵∠AOB=70°，∴35°.
24. 如图所示，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则__________.
【答案】
【解析】∵的平分线与的平分线交于点，∴，，
又∵，∴.∵在四边形中，，∴.
∴.
三、解答题
25. 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【答案】解：如图，，点在上，，垂足分别为,，求证.
证明：∵，，∴.
在△PDO 和△PEO中，∴△PDO≌△PEO (AAS).∴，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
26. 如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.
求证：
(1)PE=PF；
【答案】连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°. ∵AE=AF，AP=AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，∴PE=PF.
(2)点P在∠BAC的平分线上.
【答案】由第1问知Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴点P在∠BAC的平分线上.
27. 如图，在△ABC中，CA=CB，，AD平分，于点E，AB=10 cm.求△BED的周长.
【答案】∵，，
∴CD=DE.又∵AD=AD，∴，∴，AC=AE，∴BD+DE=BD+DC=BC.
∵AC=CB，∴BD+DE=BC=CA=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB=10 cm，∴△BED的周长为10 cm.
28. 如图所示，，平分，.求的度数.
【答案】50°
【解析】∵，∴.∵平分，∴，∵，∴.
29. 如图，在△ABC中，，，CE平分，于D，于F，求的度数.
【答案】∵，，，∴.
∵CE平分，∴.
又∵，∴，
∴，
∵，∴.
30. 如图所示，,分别是△ABC 的两条角平分线，且相交于点，求证点在的平分线上.
【答案】证明：如图，过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为,,.∴.同理， .∴.∴点在的平分线上.
31. 如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
【答案】点P在∠AOB的平分线上.
理由：如图所示，作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.
∵,，
，
∴=.
又∵FG=MN，∴PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.
32. 已知：如图所示，，于，于点，交于点.求证：平分.
【答案】证明：∵，，∴.
在△BDE 和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴，
又∵，，∴平分.
33. 如图，,分别是△ABC的外角和的平分线，它们交于点，于，于，求证：为的平分线.
【答案】证明：如图，过点作于.∵，，,分别是和的平分线，∴，，∴.
又∵，，∴点在的平分线上，∴为的平分线.
34. 如图所示，在中，分别延长的边，到，，与的平分线相交点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
①若，则；
②若，则；
③若，则.
(1)上述规律，若，则 ；
【答案】15°
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系；
【答案】.
(3)请说明第2题中结论的正确性.
【答案】证明：因为是的一个外角，
所以.
因为是的平分线，
所以.
同理，可得.
因为，
所以
.
35. 在△ABC中，AD是的平分线.
(1)如图①，求证：；
【答案】证明：如图，作于E，于F.
∵AD是的平分线，∴DE=DF.
∴.
(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；
【答案】证明：∵BD=CD，∴.
由第1问知，
∴，∴AB=AC.
(3)如图③，若AB=5，AC=4，BC=6，求BD的长.
【答案】如图，过A作，垂足为M.
∵，，∴，
由第1问知，∴.又BC=6，∴.
36. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线.请结合图形说明理由.
【答案】在和中，，，，∴，∴，即平分.
37. 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：
(1)使其到两公路的距离相等；
(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置.
【答案】解:如图，连接，作的平分线交于点，则点就是所要建超市的位置.
四、证明题
38. 已知：如图，在中，，，是的平分线，求证：.
【答案】证明 :∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴，∴，
在中，∵，
∴，
.
39. 如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分.
【答案】过点M作于N.
∵DM平分， ，
∴CM=MM.又M是BC的中点，
∴CM=BM，∴MN=MB.
又∵，∴，∴AM平分.
40. 如图，，点是的中点，则平分，为什么？
【答案】如图，
连接.点是的中点，∴.
在和中，∵，
∴.
在和中，∴，
∴，∴，∴平分.
41. 如图所示，射线OM，ON是两条公路，点A，B，C，D是四个小商店，其中A，B在公路OM上，C，D在公路ON上，且AB=CD，点P是一座购物商场，若，则商场P的位置恰好在的平分线上，为什么？
【答案】过点P作于点E，于点F，如图所示.
∵，，，
∴AB·PE=CD·PF.∵AB=CD，∴PE=PF.∴点P在的平分线上.
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