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2021新高考数学二轮总复习专题七解析几何7.1直线圆圆锥曲线小题专项练学案含解析
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专题七 解析几何
考
情
分
析
2020年的山东新高考数学卷对解析几何这一部分共命制了3道题:多选题9,利用对参数的讨论来确定圆锥曲线及圆锥曲线的方程;填空题13,已知直线过抛物线的焦点,求弦长.此题重点考察了直线与圆锥曲线的位置关系,所以可以先求出直线方程,再与抛物线方程联立直接求解.另外,此题还可以利用二级结论直接求解倾斜角为θ的直线过抛物线y2=2px的焦点,则弦长l=2psin2θ.解答题22,考查椭圆的方程,以及直线与椭圆的位置关系、直线过定点等问题.从试卷的出题数量和分值占比上来说,圆锥曲线仍然是高考的重点和热点,是高考中每年必考的内容.主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容.对圆锥曲线方程与性质的考查,以选择题、填空题为主,对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常与其他知识交汇命题,多以解答题的形式出现.在核心素养方面主要考查逻辑推理和数学运算.
7.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练
必备知识精要梳理
1.若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.
2.两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
3.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2(A2+B2≠0).
4.圆的方程:(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
5.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或y2a2+x2b2=1(a>b>0)(焦点在y轴上);
(2)双曲线:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
6.熟记重要结论
(1)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中
①当P为短轴端点时,θ最大.
②S=12|PF1||PF2|·sin θ=b2tan θ2=c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a+c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=b2tanθ2,其中θ为∠F1PF2.
(3)设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
①x1x2=p24,y1y2=-p2;
②弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB所在直线的倾斜角);
③1|FA|+1|FB|=2p;
④以弦AB为直径的圆与准线相切.
考向训练限时通关
考向一
直线、圆
1.(2020天津,12)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 .
2.(2020全国Ⅱ,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
A.55 B.255 C.355 D.455
3.(2020全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.2
4.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则1a+3b的最小值是( )
A.23 B.203 C.4 D.163
6.(多选)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0
C.x=0 D.4x+3y+9=0
考向二
圆锥曲线方程、性质
类型一 椭圆
7.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
8.
(2020石家庄一模,5)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的标准方程为( )
A.x236+y216=1 B.x240+y215=1
C.x249+y224=1 D.x245+y220=1
9.(2020安徽蚌埠模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
10.(2020北京丰台一模,15)已知双曲线M:x2-y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA,OC所在直线.若椭圆N:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过A,C两点,且点B是椭圆N的一个焦点,则a= .
类型二 双曲线
11.(多选)(2020山东潍坊一模,9)已知双曲线x24-y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),则不因θ改变而变化的是( )
A.焦距 B.离心率
C.顶点坐标 D.渐近线方程
12.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )
A.x24-y24=1 B.x2-y24=1
C.x24-y2=1 D.x2-y2=1
13.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )
A.32 B.3 C.23 D.4
14.
(2020山东淄博一模,15)如图,A1,A2分别是双曲线C:x2-y2a=1(a>0)的左、右顶点,以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M,直线MA2交另一条渐近线于点N,若MA1∥NO,则a= ,若F2为双曲线右焦点,则△MF2O的周长为 .
类型三 抛物线
15.(2020全国Ⅲ,文7)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
16.(2019全国Ⅱ,文9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
17.(2020安徽安庆二模,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K作圆x-p22+y2=p24的切线,切点分别为A,B.若|AB|=3,则p的值为( )
A.1 B.3 C.2 D.3
18.(多选)(2020山东淄博一模,9)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,则p的值可以是( )
A.2 B.6 C.4 D.8
19.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k= .
20.(2020北京石景山一模,14)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
专题七 解析几何
7.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练
考向训练·限时通关
1.5 解析如图.
∵|AB|=6,
∴|AD|=3.
圆x2+y2=r2的圆心为(0,0).圆心到直线的距离CD=|8|1+3=4,∴AC=5,即r=5.
2.B 解析由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=|2-1-3|5=255.
当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=|2×5-5-3|5=255.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.
3.B 解析直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.
4.B 解析圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.
因为
(1-3)2+(2-0)2=22<3,所以点(1,2)在圆内.
如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,
|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,
所以|BC|=2|AB|=2.
5.D 解析由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,由题意知直线ax-by+3=0经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0).∴1a+3b=13(a+3b)1a+3b=131+3ab+3ba+9≥1310+23ab·3ba=163,当且仅当3ba=3ab,即a=b=34时取等号,故选D.
6.AC 解析当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,联立得方程组x=0,x2+y2-2x-2y-2=0,
解得x=0,y=1-3或x=0,y=1+3
∴|AB|=23,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,
∵圆x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(1,1),圆的半径r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1,
∵d2+|AB|22=r2,∴(+2)2k2+1+3=4,解得k=-34,∴直线l的方程为y=-34x+3,即3x+4y-12=0.
综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0.故选AC.
7.B 解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.
∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=12.又kAF2=|BP||F2P|=|BP|12=b,∴|BP|=12b.∴点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.
所以椭圆方程为x23+y22=1.
8.C 解析根据题意,设椭圆的右焦点为M,连接PM,
则|FM|=2|OF|=10,因为|OP|=|OF|=|OM|,所以∠PFM=∠FPO,∠OMP=∠OPM,又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°,∠FPO+∠OPM=90°,即PF⊥PM.
又由|FM|=10,|PF|=6,
则|PM|=100-36=8,
则2a=|PF|+|PM|=14,则a=7,又由c=5,则b2=a2-c2=49-25=24,则椭圆的方程为x249+y224=1.故选C.
9.A 解析∵△AF1B的周长为43,且△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=43,∴a=3.∵离心率为33,
∴ca=33,c=1,
∴b2=a2-c2=3-1=2,∴椭圆C的方程为x23+y22=1.故选A.
10.
3+12 解析根据题意,可作出如图所示的图形,设点D为椭圆的另一个焦点,连接AD,双曲线M:x2-y23=1的渐近线方程为y=±3x,
∴∠AOB=60°,∵菱形OABC的边长为1,∴点A的坐标为12,32,B(1,0),D(-1,0),∴|AD|=12+12+322=3,而|AB|=1,由椭圆的定义可知,|AB|+|AD|=2a,∴a=3+12.
11.BD 解析双曲线x24-y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),可化为x24sin2θ-y22sin2θ=1.∴a2=4sin2θ,b2=2sin2θ.c2=6sin2θ,e2=1+ba2=32,渐近线y=±bax=±22x.故选BD.
12.D 解析∵双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,
∴-b=-ba且-b·ba=-1,
∴a=1,b=1.故选D.
13.B 解析
由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.
又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.
14.3 3+7 解析∵MA1∥NO,∴MA1∥NO,∴∠NOA2=∠MA1O,又∠NOA2=∠MOA1,∴∠MOA1=∠MA1O.
又OA1=OM,∴∠MA1O=∠OMA1,∴△MA1O是等边三角形,
∴a=3,可得a=3;
则M-12,32.则△MF2O的周长为:1+2+-12-22+322=3+7.
15.B 解析∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.
16.D 解析∵y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(±3p-p,0),∴3p-p=p24,解得p=8,故选D.
17.
C 解析如图,连接FA,因为F就是圆x-p22+y2=p24的圆心,所以FA⊥KA,且|FA|=p2.
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,所以△AKB是等边三角形,所以|AB|=|AK|=32p.又|AB|=3,所以p=2.故选C.
18.AC 解析设P点(x0,y0),由P在抛物线上,所以y02=2px0,由抛物线的方程可得准线的方程为x=-p2,由题意可得x0+p2=3,|y0|=2px0=22,解得:p=2或4,故选AC.
19.2 解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x⇒y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.
而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,∴MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=12.∴k=1m=2.
20.3 解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0).∵M为FN的中点,∴M的横坐标为12,则|FM|=12+1=32,
|FN|=2|FM|=2×32=3.
考
情
分
析
2020年的山东新高考数学卷对解析几何这一部分共命制了3道题:多选题9,利用对参数的讨论来确定圆锥曲线及圆锥曲线的方程;填空题13,已知直线过抛物线的焦点,求弦长.此题重点考察了直线与圆锥曲线的位置关系,所以可以先求出直线方程,再与抛物线方程联立直接求解.另外,此题还可以利用二级结论直接求解倾斜角为θ的直线过抛物线y2=2px的焦点,则弦长l=2psin2θ.解答题22,考查椭圆的方程,以及直线与椭圆的位置关系、直线过定点等问题.从试卷的出题数量和分值占比上来说,圆锥曲线仍然是高考的重点和热点,是高考中每年必考的内容.主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容.对圆锥曲线方程与性质的考查,以选择题、填空题为主,对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常与其他知识交汇命题,多以解答题的形式出现.在核心素养方面主要考查逻辑推理和数学运算.
7.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练
必备知识精要梳理
1.若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.
2.两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
3.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2(A2+B2≠0).
4.圆的方程:(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)·(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
5.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或y2a2+x2b2=1(a>b>0)(焦点在y轴上);
(2)双曲线:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
6.熟记重要结论
(1)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中
①当P为短轴端点时,θ最大.
②S=12|PF1||PF2|·sin θ=b2tan θ2=c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a+c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=b2tanθ2,其中θ为∠F1PF2.
(3)设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
①x1x2=p24,y1y2=-p2;
②弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB所在直线的倾斜角);
③1|FA|+1|FB|=2p;
④以弦AB为直径的圆与准线相切.
考向训练限时通关
考向一
直线、圆
1.(2020天津,12)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为 .
2.(2020全国Ⅱ,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
A.55 B.255 C.355 D.455
3.(2020全国Ⅲ,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.2
4.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则1a+3b的最小值是( )
A.23 B.203 C.4 D.163
6.(多选)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0
C.x=0 D.4x+3y+9=0
考向二
圆锥曲线方程、性质
类型一 椭圆
7.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
8.
(2020石家庄一模,5)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的标准方程为( )
A.x236+y216=1 B.x240+y215=1
C.x249+y224=1 D.x245+y220=1
9.(2020安徽蚌埠模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
10.(2020北京丰台一模,15)已知双曲线M:x2-y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA,OC所在直线.若椭圆N:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过A,C两点,且点B是椭圆N的一个焦点,则a= .
类型二 双曲线
11.(多选)(2020山东潍坊一模,9)已知双曲线x24-y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),则不因θ改变而变化的是( )
A.焦距 B.离心率
C.顶点坐标 D.渐近线方程
12.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )
A.x24-y24=1 B.x2-y24=1
C.x24-y2=1 D.x2-y2=1
13.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )
A.32 B.3 C.23 D.4
14.
(2020山东淄博一模,15)如图,A1,A2分别是双曲线C:x2-y2a=1(a>0)的左、右顶点,以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M,直线MA2交另一条渐近线于点N,若MA1∥NO,则a= ,若F2为双曲线右焦点,则△MF2O的周长为 .
类型三 抛物线
15.(2020全国Ⅲ,文7)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
16.(2019全国Ⅱ,文9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
17.(2020安徽安庆二模,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K作圆x-p22+y2=p24的切线,切点分别为A,B.若|AB|=3,则p的值为( )
A.1 B.3 C.2 D.3
18.(多选)(2020山东淄博一模,9)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,则p的值可以是( )
A.2 B.6 C.4 D.8
19.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k= .
20.(2020北京石景山一模,14)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
专题七 解析几何
7.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练
考向训练·限时通关
1.5 解析如图.
∵|AB|=6,
∴|AD|=3.
圆x2+y2=r2的圆心为(0,0).圆心到直线的距离CD=|8|1+3=4,∴AC=5,即r=5.
2.B 解析由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=|2-1-3|5=255.
当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=|2×5-5-3|5=255.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.
3.B 解析直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选B.
4.B 解析圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.
因为
(1-3)2+(2-0)2=22<3,所以点(1,2)在圆内.
如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,
|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,
所以|BC|=2|AB|=2.
5.D 解析由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,由题意知直线ax-by+3=0经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0).∴1a+3b=13(a+3b)1a+3b=131+3ab+3ba+9≥1310+23ab·3ba=163,当且仅当3ba=3ab,即a=b=34时取等号,故选D.
6.AC 解析当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,联立得方程组x=0,x2+y2-2x-2y-2=0,
解得x=0,y=1-3或x=0,y=1+3
∴|AB|=23,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,
∵圆x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(1,1),圆的半径r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1,
∵d2+|AB|22=r2,∴(+2)2k2+1+3=4,解得k=-34,∴直线l的方程为y=-34x+3,即3x+4y-12=0.
综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0.故选AC.
7.B 解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.
∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=12.又kAF2=|BP||F2P|=|BP|12=b,∴|BP|=12b.∴点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.
所以椭圆方程为x23+y22=1.
8.C 解析根据题意,设椭圆的右焦点为M,连接PM,
则|FM|=2|OF|=10,因为|OP|=|OF|=|OM|,所以∠PFM=∠FPO,∠OMP=∠OPM,又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°,∠FPO+∠OPM=90°,即PF⊥PM.
又由|FM|=10,|PF|=6,
则|PM|=100-36=8,
则2a=|PF|+|PM|=14,则a=7,又由c=5,则b2=a2-c2=49-25=24,则椭圆的方程为x249+y224=1.故选C.
9.A 解析∵△AF1B的周长为43,且△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=43,∴a=3.∵离心率为33,
∴ca=33,c=1,
∴b2=a2-c2=3-1=2,∴椭圆C的方程为x23+y22=1.故选A.
10.
3+12 解析根据题意,可作出如图所示的图形,设点D为椭圆的另一个焦点,连接AD,双曲线M:x2-y23=1的渐近线方程为y=±3x,
∴∠AOB=60°,∵菱形OABC的边长为1,∴点A的坐标为12,32,B(1,0),D(-1,0),∴|AD|=12+12+322=3,而|AB|=1,由椭圆的定义可知,|AB|+|AD|=2a,∴a=3+12.
11.BD 解析双曲线x24-y22=sin2θ(θ≠kπ,k∈Z),可化为x24sin2θ-y22sin2θ=1.∴a2=4sin2θ,b2=2sin2θ.c2=6sin2θ,e2=1+ba2=32,渐近线y=±bax=±22x.故选BD.
12.D 解析∵双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,
∴-b=-ba且-b·ba=-1,
∴a=1,b=1.故选D.
13.B 解析
由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.
又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.
14.3 3+7 解析∵MA1∥NO,∴MA1∥NO,∴∠NOA2=∠MA1O,又∠NOA2=∠MOA1,∴∠MOA1=∠MA1O.
又OA1=OM,∴∠MA1O=∠OMA1,∴△MA1O是等边三角形,
∴a=3,可得a=3;
则M-12,32.则△MF2O的周长为:1+2+-12-22+322=3+7.
15.B 解析∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.
16.D 解析∵y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(±3p-p,0),∴3p-p=p24,解得p=8,故选D.
17.
C 解析如图,连接FA,因为F就是圆x-p22+y2=p24的圆心,所以FA⊥KA,且|FA|=p2.
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,所以△AKB是等边三角形,所以|AB|=|AK|=32p.又|AB|=3,所以p=2.故选C.
18.AC 解析设P点(x0,y0),由P在抛物线上,所以y02=2px0,由抛物线的方程可得准线的方程为x=-p2,由题意可得x0+p2=3,|y0|=2px0=22,解得:p=2或4,故选AC.
19.2 解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x⇒y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.
而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,∴MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=12.∴k=1m=2.
20.3 解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0).∵M为FN的中点,∴M的横坐标为12,则|FM|=12+1=32,
|FN|=2|FM|=2×32=3.
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