2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.1函数概念性质图象专项练学案含解析

专题二　函数与导数

2.1　函数概念、性质、图象专项练

必备知识精要梳理

1.函数的概念

(1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解.

(2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、有界函数法(含有指、对数函数或正、余弦函数的式子).

2.函数的性质

(1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:

f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);

f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).

②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).

(2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法.

(3)函数周期性的常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±(a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数).

3.函数的图象

(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.

(2)若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)对∀x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线x=对称;若y=f(x)对∀x∈R都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则f(x)的图象关于点对称.

(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)和y=f(b+x)的图象关于直线x=对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.

(4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题.

考向训练限时通关

1.(2020安徽合肥一中模拟,理1)设集合A={x|y=lg(x-3)},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于(　　)

A.⌀ B.R

C.{x|x>3} D.{x|x>0}

2.(多选)符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-1.6]=-2,定义函数:f(x)=x-[x],则下列命题正确的是(　　)

A.f(-0.8)=0.2

B.当1≤x<2时,f(x)=x-1

C.函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1)

D.函数f(x)是增函数、奇函数

3.(2020北京,11)函数f(x)=+ln x的定义域是　　　　　. 

4.设函数f(x)=则f=　　　　　,f(f(x))=1的解集为　　　　　. 

5.(2020天津,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.b<c<a D.c<a<b

6.(2020全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　)

A.是偶函数,且在单调递增

B.是奇函数,且在单调递减

C.是偶函数,且在单调递增

D.是奇函数,且在单调递减

7.(2020全国Ⅲ,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.b<c<a D.c<a<b

8.(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=则f(5+log26)的值为　　　　　. 

9.(2020天津,3)函数y=的图象大致为(　　)

10.(2020山西太原二模,理6)函数f(x)=的图象大致为(　　)

11.(2020山东济宁6月模拟,5)函数f(x)=cos x·sin的图象大致为(　　)

12.(多选)(2020山东淄博4月模拟,12)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,则下列说法错误的是              (　　)

A.f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的

B.f(x2)在[1,]上具有性质P

C.若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3]

D.对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]

13.

(2020北京海淀一模,15)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记点P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:

①函数f(x)的最大值为12;

②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;

③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.

其中,所有正确结论的序号是　　　　　. 

专题二　函数与导数

2.1　函数概念、性质、图象专项练

考向训练·限时通关

1.C　解析A={x|y=lg(x-3)}={x|x-3>0}={x|x>3},B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}.∴A∩B={x|x>3},故选C.

2.ABC　解析f(x)=x-[x]表示数x的小数部分,则f(-0.8)=f(-1+0.2)=0.2,故A正确;

当1≤x<2时,f(x)=x-[x]=x-1,故B正确;

函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1),故C正确;

当0≤x<1时,f(x)=x-[x]=x.

当1≤x<2时,f(x)=x-1.

当x=0.5时,f(0.5)=0.5,当x=1.5时,f(1.5)=0.5,则f(0.5)=f(1.5),即f(x)不为增函数,由f(-1.5)=0.5,f(1.5)=0.5,可得f(-1.5)=f(1.5),即f(x)不为奇函数,故D不正确.

故选ABC.

3.(0,+∞)　解析由题意得

∴x>0,故答案为(0,+∞).

4　{1,ee}　解析∵f=ln<0,

∴f=f

x<0时,0<ex<1,x=0时,ex=1,方程f(f(x))=1,可得f(x)=0,lnx=0,解得x=1,f(x)>0时,方程f(f(x))=1,可得ln[f(x)]=1,f(x)=e,即lnx=e,解得x=ee.

5.D　解析∵b==30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=1,

∴c<a<b.故选D.

6.D　解析由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称.

∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,

∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),

∴f(x)为奇函数.

当x时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),∴f'(x)=>0,

∴f(x)在区间内单调递增.同理,f(x)在区间内单调递减.

故选D.

7.A　解析a=log53=lo34=log12581<1,∴a<b=log85=lo54=log512625>1,∴b>,∵55<84,b=log85=lo55<1,∴b<,∵134<85,c=log138=lo85>1,∴c>综上,a<b<c.

8.12　解析由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)时,周期为1,因为2<log26<3,所以5+log26∈(7,10),1+log26∈(3,4),所以f(5+log26)=f(1+log26)==2×6=12.

9.A　解析∵函数y=为奇函数,∴排除C,D.再把x=1代入得y==2>0,排除B.故选A.

10.A　解析f(1)=>0,排除选项C,D;由f(x)==0,则方程无解,即函数没有零点,排除B,故选A.

11.C　解析显然函数f(x)的定义域是R,由f(x)=cosx·sin,得f(-x)=cos(-x)sin=cosx·sin=-f(x),

即f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A,B;

又f(1)=cos1·sin>0,可排除选项D,故选C.

12.ABD　解析对于A,函数f(x)=在[1,3]上具有性质P,但f(x)在[1,3]上的图象不连续,故选项A错;

对于B,f(x)=-x在[1,3]上具有性质P,但f(x2)=-x2在[1,]上不满足性质P,故选项B错;

对于C,因f(x)在x=2处取得最大值1,所以f(x)≤1,设x∈[1,2],则4-x∈[2,3].由性质P可得1=f(2)[f(x)+f(4-x)],所以f(x)+f(4-x)≥2,因为f(x)≤1,f(4-x)≤1,

所以f(x)+f(4-x)≤2,

所以f(x)+f(4-x)=2,又f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以f(x)=1,x∈[1,3],故选项C正确;

对于D,有f

=f

f+f

[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故选项D错.故选ABD.

13.①②　解析由题可得函数f(x)=作出图象如图.

则当点P与△ABC顶点重合时,即x的值分别是0,6,12,18时,f(x)取得最大值12,故①正确;

又f(x)=f(18-x),所以函数f(x)的对称轴为x=9,故②正确;

由图象可得,函数f(x)图象与y=kx+3的交点个数为6个,故方程有6个实根,故③错误.