2021年新高考数学元月期末考试全真模卷（三）

2021年新高考数学元月期末考试全真模卷（三）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）设全集为R，集合，，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题考查了集合的运算问题，是基础题．
根据补集、交集的定义即可求出．
【解答】
解：，，
，
，
故选B．
 复数为虚数单位的共轭复数是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．
化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
【解答】解：化简可得
，
的共轭复数
故选：B．

 
 已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，是基础题．
“”“”，“”“或”，由此能求出结果．
【解答】
解：，则“”“”，
“”“或”，
“”是“”的充分非必要条件．
故选A．
 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天   积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者     A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名【答案】B【解析】【分析】
本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数．【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，
则至少需要志愿者为名故选B．
 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为       A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题考查了平面向量的投影、夹角，属于基础题．
利用平面向量投影的定义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小．
【解答】
解：记向量与向量的夹角为，，
在上的投影为．
在上的投影为，，
，，
．
故选B．
 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是     A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于较易题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案．
【解答】
解：函数为奇函数，
若，则，
又函数在上单调递减，，
，
，
解得：，
所以x的取值范围是．
故选D．
 某社区要为小凯等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6人排成一排，小凯必须与2位老人都相邻，且2位老人不排在两端，则不同的排法种数是A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B【解析】解：小凯必须与2位老人都相邻，用捆绑法，有，两位老人不排在两端，则小凯与2位老人在2、3、4或3、4、5位置，其余有，故共有种，
故选：B．
小凯必须与2位老人都相邻，用捆绑法，有，两位老人不排在两端，则小凯与2位老人在2、3、4或3、4、5位置，其余有，利用乘法原理即可得出结论．
本题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
 已知函数，给出下列四个说法：；
；在区间上单调递增；
的图象关于点中心对称．其中正确说法的序号是      A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数的单调性、周期性和对称性的综合应用问题，是综合题，属于中档题．
由已知计算的值即可；计算与的值即可判断；时，是单调增函数；计算与的值，由，判断，即可得结果．
【解答】
解：对于，
，正确；
对于，因为，
，，错误；
对于，当时，，
在区间上单调递增，正确；
对于，，
，
则，
所以的图象不关于点中心对称，错误；
综上，正确的命题序号是．
故选B．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积平方米与时间月之间的函数关系式是且，其图象如图所示，则下列说法正确的是     


 A. 池塘中原有浮草的面积是平方米
B. 第8个月浮草的面积超过60平方米
C. 浮草每月增加的面积都相等
D. 若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所需要的时间分别为，，，则【答案】ABD【解析】
【分析】
本题考查指数函数模型的应用，属于中档题．
先求出a的值，得到函数的解析式，再对各项逐一分析，即可得到答案．
【解答】
解：因为函数的图象经过，  所以，解得  当时，，故A正确． 
当时，，故B正确．
  当时，，增加平方米，当时，，增加1平方米，  故每月增加的面积不相等，故C错误．
  由，得，  同理，， 
所以，  所以，故D正确．
故选ABD．
 已知实数满足方程，则下列说法错误的是  A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为【答案】CD【解析】【分析】
本题考查圆方程的应用，考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，考查点与圆的位置关系，是中档题．
令，得到直线与圆有公共点从而求得的范围；看成原点到圆上的距离的平方即可求解．
【解答】
解：实数x，y满足方程，即，
所以把看作是以为圆心，以为半径的圆；
令，则三条直线都与圆有公共点，
所以，，
解得，，
所以的最大值为，的最大值为，的最大值为，
所以选项A正确，CD错误；
原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，B项正确．
故选CD．
 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是   A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为
C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件概率的求解，属于基础题．
由于从甲袋和乙袋中摸出小球互不影响，可知从两个袋中摸球的事件为相互独立事件利用相互独立事件概率的乘法公式，计算四个选项事件发生的概率，据此即可解答．
【解答】
解：根据题意，从甲袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为，从乙袋中摸出1个红球的概率为，则摸出的球不是红球的概率为．
所以对于A、2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概率为，故A正确．
对于B，“2个球不都是红球事件”是“2个球都是红球事件”的对立事件，所以所求概率为故B错误．
对于C，至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，因为两球都不是红球的概率为，所以所求概率为，故C正确．
对于D，由两球都不是红球的概率为，由A可得2个球都是红球的概率为，则2个球中恰有1个红球的概率为，故D正确．
故选ACD．
 
 若，且满足，则    A. 的最小值为4
B. xy的最小值为2
C. 的最小值为
D. 的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属中档题．
依题意，根据条件得，利用基本不等式，逐个选项判断即可．
【解答】
解：因为，，由得，
所以，当时取等号，故A正确；
，当时取等号，得，得，当时取等号，故B错误；
，当，即，时取等号，故C正确；
，
当，即，时取等号，故D正确；
故选ACD．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）设数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】
本题考查数列递推式，考查了由递推公式求通项公式，是中档题．
由已知数列递推式可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，求其通项公式后，利用求得数列的通项公式．
【解答】
解：由，得：
，
即，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，．
当时，．
时上式不成立，
．
故答案为：．
 四棱锥的底面ABCD为正方形，底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为的同一球面上，则______．【答案】【解析】【试题解析】【分析】
本题考查四面体的外接球的表面积，考查直线与平面垂直的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
先连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由球的表面积公式建立方程求出PA即可．
【解答】
解：连结AC，BD交于点E，取PC的中点O，

连结OE，则，
因为底面ABCD，
所以底面ABCD，
则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，
即O为球心，半径为，
所以由球的表面积公式可得，
解得．
故答案为．
 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．【答案】2【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法，属于中档题．
分别求出A，B点坐标，再根据条件列方程即可求解．
【解答】
解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，
垂直于x轴，
把代入，得，
 B点坐标为，
又A点坐标为，
，化简得，即，解得或舍，故．
故答案为2．
 设是定义在R上的偶函数，且对于任意的，恒成立，当时，若关于x的方程恰有4个不同的解，则实数a的取值范围是          ．【答案】【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于较难题．
由偶函数的定义和，可得的周期为2，作出的图象，由题意可得关于x的方程恰有4个不同的解即为的图象和直线有四个交点，通过直线的旋转，即可得到所求范围．
【解答】
解：设是定义在R上的偶函数，且对于任意的，恒成立，
可得，即有的周期为2，
当时，
作出在的图象，可得的图象，

由题意可得关于x的方程恰有4个不同的解，
即为的图象和直线有四个交点，
经过时，即可得；
经过时，即可得；
经过时，即可得；
经过时，即可得；
可得当或时，关于x的方程恰有4个不同的解．
故答案为
 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知．
Ⅰ求角B的大小；
Ⅱ设，，求b和的值．【答案】解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，
，
即，
，
又，．
Ⅱ在中，，，，
由余弦定理得，
由，得，
，
，
，
，
．【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，是中档题．
Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．
Ⅱ由余弦定理得，由，得，，由此能求出．
 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图：

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量箱产量旧养殖法  新养殖法  根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到．
附：k．【答案】解：记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由，
则旧养殖法的箱产量低于50kg：，
故的估计值，
新养殖法的箱产量不低于50kg：，
故的估计值为，
则事件A的概率估计值为；
发生的概率为．
列联表：  箱产量  箱产量 总计 旧养殖法  62 38 100 新养殖法  34 66 100 总计 96 104 200则，
由，
有的把握认为箱产量与养殖方法有关．
由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：
，
箱产量低于55kg的直方图面积为：
，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：，
新养殖法箱产量的中位数的估计值．【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．
由题意可知：，分布求得发生的频率，即可求得其概率；
完成列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有的把握认为箱产量与养殖方法有关：
根据频率分布直方图即可求得其中位数．
 如图，且，，且，且，平面ABCD，．若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；求二面角的正弦值；若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长．【答案】Ⅰ证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

可得0，，0，，2，，2，，
0，，1，，0，，，0，．
设为平面CDE的法向量，
则，不妨令，可得；
又，可得．
又直线平面CDE，
平面CDE；
Ⅱ解：依题意，可得，，．
设为平面BCE的法向量，
则，不妨令，可得．
设为平面BCF的法向量，
则，不妨令，可得．
因此有，于是．
二面角的正弦值为；
Ⅲ解：设线段DP的长为h，，则点P的坐标为0，，
可得，而为平面ADGE的一个法向量，
故．
由题意，可得，解得．
线段DP的长为．【解析】【试题解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，是中档题．
Ⅰ依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向量及，由，结合直线平面CDE，可得平面CDE；
Ⅱ分别求出平面BCE与平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值；
Ⅲ设线段DP的长为h，，则点P的坐标为0，，求出，而为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平面ADGE所成的角为，可得线段DP的长．
 设椭圆的左焦点为F，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若为原点，且，求直线PB的斜率．【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，，，
解得，，
可得椭圆方程为；
Ⅱ，，设PB的方程为，
代入椭圆方程，
可得，
解得或，
即有，
，令，可得，
又，，
可得，解得，
可得PB的斜率为．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．
Ⅰ由题意可得，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；
Ⅱ，，设PB的方程为，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由，运用斜率之积为，解方程即可得到所求值．
 已知数列满足，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，数列的前n项和，求证：．【答案】Ⅰ解：数列满足：
，，
时，，
相减可得：，
，，
时，，不符合上式，
综上可得：；
Ⅱ证明：，
，
．
时，
，
．
，
．
综上所述，．【解析】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ数列满足，，时，，相减可得：，可得，时，，
然后综合即可；
Ⅱ，，时，，利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．
 已知函数，当时，求在区间上的最大值和最小值；求在处的切线方程；若在区间上，恒成立，求实数a的取值【答案】解：当时，，．
对于，恒成立，在区间上单调递增．
，．
，．
，．
在处的切线方程是
，即；
函数的定义域为，．
当时，恒有，
函数在区间上单调递减．
要满足在区间上，恒成立，则即可，解得．
实数a的取值范围是．
当时，令，解得，．
当时，即时，在区间上有，此时在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．
当时，即，在区间上有，此时单调递增，不合题意．
综上可知：实数a的取值范围是．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
当时，，由于，恒成立，即可得到在区间上单调递性，即可得出最值．
分别计算出，，利用导数的几何意义可得在处的切线斜率及其方程．
函数的定义域为，对a分类讨论：
当时，利用导数研究其单调性即可得出．当时，令，解得，进一步分类讨论：当时，即时，当时，即，研究函数的单调性即可得出．