2021年新高考数学元月期末考试全真模卷（五）

2021年新高考数学元月期末考试全真模卷（五）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）（2020全国·理科·新课标Ⅱ）已知集合，则   A.  B.
C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属基础题．
先求出，再求补集．
【解答】
解：，
故选A．
 （2020全国·理科·新课标Ⅲ）复数的虚部是       A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数虚部的判断，属于基础题．
【解答】解：因为，
所以其虚部为，
 故选D．（2020全国新高考Ⅰ卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于基础题．
根据分步乘法计数原理，结合组合的定义，即可解答．【解答】解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有故选C．（2020海南省新高考）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球球心记为，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A处的水平面所成角为
A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．
由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．【解答】
解：可设A所在的纬线圈的圆心为，垂直于纬线所在的圆面，由图可得为晷针与点A处的水平面所成角，又为且，在中，，，故选：B．
 （2020全国·理科·新课标Ⅱ）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】C【解析】【试题解析】【分析】
直接利用抛物线的性质解题即可．
本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．
【解答】
解：A为抛物线C：上一点，
点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：；
故选：C．
 （2020全国·理科·新课标Ⅱ）数列中，，，若，则    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】
本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题．取，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值．【解答】解：取，则，又，所以，
所以是等比数列，则，所以，得故选C．
 （2020全国·理科·新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，         A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，基础题．
根据平面向量的夹角定义可知，由可得的值，由可得的值，从而可得答案．
【解答】
解：因为，，
所以，
，，，
所以，
因为，
所以，
故选D．
 （2020全国新高考Ⅰ卷）若定义在R上的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是     A.  B.
C.  D. 【答案】D【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，难度一般．
根据题意，不等式可化为 或，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可．
【解答】解：根据题意，不等式可化为 或由奇函数性质得，在上单调递减，所以，解得或．满足的x的取值范围是．故选D．
 二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）（2020海南省新高考）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 
A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C. 第3天至第11天复工复产指数均超过
D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量【答案】CD【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查折线图表示的函数的认知和理解，属于中档题．
通过复工和折线图中都有递减的部分来判断A；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；
【解答】
解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；
由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；
第3天至第11天复工复产指数均超过，故C正确；
第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；
故选：CD．
 （2020全国新高考Ⅰ卷）已知曲线，则     A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般．
根据m，n的范围，结合椭圆、双曲线、圆及直线的标准方程一一判断即可．
【解答】
解：当时，可化为，
若，则，故表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
若，可化为，表示圆心为原点，半径为的圆，故B错误；
若，则C是双曲线，令故其渐近线方程为，故C正确；
若，，可化为，即，表示两条直线
故D正确．故选ACD．
 （2020海南省新高考）如图是函数的部分图象，则          
A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】
本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．
根据图象先求出函数的周期，和，利用五点法求出函数的的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】
解：由图象知函数的周期，即，即，由五点对应法得，得，则故选：BC．
 （2020全国新高考Ⅰ卷）信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且2，，，，定义X的信息熵A. 若，则
B. 若，则随着的增大而增大
C. 若2，，，则随着n的增大而增大
D. 若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，，m，且2，，，则【答案】AC【解析】【分析】本题以信息熵的定义为载体，涉及了对数运算，离散型随机变量及基本不等式，作差法的运用等，旨在考查学生接收新知识，运用新知识的意识，考查化简变形、运算求解能力，属于难题．
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性．【解答】解：A选项中，由题意知，此时，故A正确；B选项中，由题意知，且，，设， 则，当时，，当时，，故当 时，随着的增大而增大，当 时，随着的增大而减小，故B错误；C选项中，由题意知，故随着n的增大而增大，故C正确．D选项中，由题意知，，   故D错误，故答案为AC．
 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（2020全国·理科·新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．【答案】36【解析】【分析】
本题考查计数原理，属于基础题．
【解答】
解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，
再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：．
答案：36．
 （2020全国·理科·新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则的最大值为__________．【答案】7【解析】【分析】
本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．
本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．
【解答】
解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示

由得点A坐标为，由得点B坐标为，
即不等式所表示的平面区域为包括边界，
再将化为，可看作斜率为，截距为z的一族平行直线，
由图可知，当直线经过点A时，截距z最大，
因此，当时，，
故答案为7．
 （2020全国新高考Ⅰ卷）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦的求法，属于基础题．先求出抛物线的交点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得焦点弦．【解答】解：抛物线的焦点为，则直线AB的方程为，联立得，所以，从而 ，故答案为：．
 （2020海南省新高考）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为                 ．
【答案】【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、OD的长，利用求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【解答】
解：作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，到直线DE和EF的距离均为7cm，，又，，，，，，，由于AG是圆弧的切线，，，设大圆的半径为R，则，，，，，解得，图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角的面积减去小半圆的面积，所以．故答案为：．
 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
求的公比；
若，求数列的前n项和．【答案】解：设是公比q不为1的等比数列，
为，的等差中项，可得，
即，
即为，
解得舍去；
若，则，
，
则数列的前n项和为，
，
两式相减可得
，
化简可得．【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考查数列的错位相减法求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
设是公比q不为1的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q；
求得，，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理，可得所求和．
 （2020全国·理科·新课标Ⅱ）中，．求A；若，求周长的最大值．【答案】解：在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
因为，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
因为，所以．
由知，，因为，即，
由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式可得，
所以
所以当且仅当时取得等号，
所以周长的最大值为．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．
直接利用正余弦定理即可求解；
利用余弦定理与基本不等式即可求解．
 （2020全国·理科·新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园的人次，整理数据得到下表单位：天：锻炼人次空气质量等级优21625良51012轻度污染678中度污染720分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表若某天的空气质量等级为1或则称这天空气质量好若某天的空气质量等级为3成4，则称这天空气质量不好根据所给数据，完成下面的列联表并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 人次400人次400空气质量好  空气质量不好  【答案】解：空气质量等级为1的概率为
空气质量等级为2的概率为
空气质量等级为3的概率为
空气质量等级为4的概率为
  一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
；
 
 人次人次空气质量好3337空气质量不好228
有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题．
 （2020全国新高考Ⅰ卷）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面PAD与平面PBC的交线为l．证明：平面已知，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】解：底面ABCD，且平面ABCD，
，
为正方形，，
又，且PD、DC在平面PDC内，
平面PDC，
，且平面PBC，平面PBC，
平面PBC，
又平面PAD与平面PBC的交线为l，且平面PAD，
，平面PDC；
以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

由，得，，，，
则，，
设点Q的坐标为，平面QCD的法向量为，
则，即有，亦即
取，得，
又设与夹角为，PB与平面QCD所成角为，
则，
于是，当时，，当时，，
又当且仅当 时，取等号，即得，当时，，
又当且仅当 时，取等号，即得，综上可知，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为  【解析】本题考查了线面角的求解及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和性质定理，难度较大．
本题先证明平面PDC，再证明平面PBC，再利用线面平行性质定理证得，从而证得平面PDC；
本题可以建立空间直角坐标系，设出Q点坐标，求出和平面QDC的法向量，再利用向量夹角公式求解，再结合基本不等式可求出PB与平面QCD所成角的正弦值最大值．
 （2020海南省新高考）已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为．求C的方程；点N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．【答案】解：由题意可知直线AM的方程为：，即，当时，解得，所以，椭圆C：过点，可得，解得，所以C的方程：．设与直线AM平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时的面积取得最大值．代入椭圆方程：．化简可得：，所以，即，解得，与AM距离比较远的直线方程：，利用平行线之间的距离为：，．所以的面积的最大值：．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题． 利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程．设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．
 已知函数当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积若1，求a的取值范围．【答案】解：当，，，所以切线方程为：，即，所以切线在y轴上截距为，在x轴上的截距为，所以三角形的面积．，要使，只需，即，即，令，，递增，故只需，因为为增函数，只需证，即，设，，所以在单调递增，在单调递减，，所以，，即a的取值范围为．【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题．根据导数的几何意义进行计算即可．把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即可．