【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试19 轴对称与等腰三角形（培优提高）（教师版）

专题19 轴对称与等腰三角形（专题测试-提高）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．（2011·河北中考模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　   ）

A．7 B．7或11 C．11 D．7或10

【答案】B

【详解】

解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b.

∵D为AC的中点，

∴AD＝DC＝AC＝a.

根据题意得或

解得或

又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．

∴这个等腰三角形的底边长为7或11.

2．（2018·福建中考真题）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【答案】A

【详解】

∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，

∵点E在AD上，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC=45°，

∴∠ECB=45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，

故选A．

3．（2018·湖北中考真题）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°

【答案】C

【详解】∵l1∥l2，

∴∠1+∠CAB=∠2，

∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∴∠2=20°+45°=65°，

故选C．

4．（2019·四川中考模拟）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）

A．﹣5    B．﹣3    C．3    D．1

【答案】D

【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，

∴1+m=3、1﹣n=2，

解得：m=2、n=﹣1，

所以m+n=2﹣1=1，

故选D．

5．（2019·江苏中考模拟）已知点A(m+1，﹣2)和点B(3，m﹣1)，若直线AB∥x轴，则m的值为(　　)

A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．3

【答案】C

【详解】

∵点，，直线轴，
，
解得．
故选：C．

6．（2018·江苏中考真题）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】B

【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，

又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，

①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，

②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，

故选B.

7．（2019·天津中考模拟）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）

A．66° B．104° C．114° D．124°

【答案】C

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°

∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；
故选C．

8．（2019·山东中考模拟）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是　　

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】

，，，

≌，

，，

过点C作轴，垂直为D，则，

，，

，

故选C．

9．（2018·江苏中考真题）在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A．

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．

又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE．

故选C．

10．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点、处若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

设∠ABE=x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，
所以50°+x+x=90°，
解得x=20°．

故选：B

11．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．

【答案】D

【解析】

解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴ AB•h=AB•AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= ==，即PA+PB的最小值为．故选D．

12．（2019·山东省临沂实验中学中考模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°

【答案】B

【解析】

解：

过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，

∵∠C=44°，∠AEC为直角，

∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，

∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，

故选B．

二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13．（2018·山东中考模拟）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．

【答案】

【详解】∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB==72°，

∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，

∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，

∴∠CEB=72°，

∴BC=CE=AE=，

故答案为．

14．（2018·江苏中考模拟）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.

【答案】75

【解析】

因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，

因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°.

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.

所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，

所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.

故答案为75.

15．（2018·广东中考模拟）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=_____cm

【答案】

【详解】

∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，

∴AB•CE＝BC•AD，

∵AD＝6，CE＝8，

∴＝，

∴＝，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC＝BC，

∵AB2−BD2＝AD2，

∴AB2＝BC2＋36，即BC2＝BC2＋36，

解得：BC＝．

故答案为：．

16．（2019·江西中考模拟）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．

【答案】3.6或4.32或4.8

【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，

∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6．

沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：

①当AB=AP=3时，如图1所示，

S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6；

②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，

作△ABC的高BD，则BD=，

∴AD=DP==1.8，

∴AP=2AD=3.6，

∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32；

③当CB=CP=4时，如图3所示，

S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8；

综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，

故答案为：3.6或4.32或4.8．

17．（2018·广西中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．

【答案】2＜AD＜8

【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，

在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，

∴AE=2AB=8，

在Rt△ABF中，AF=AB=2，

∴AD的取值范围为2＜AD＜8，

故答案为：2＜AD＜8．

三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）

18．（2019·江苏中考模拟）如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．

（1）求证：BG＝CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）BE+CF＞EF．理由见解析．

【详解】

（1）∵BG∥AC，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD与△CFD中，

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴BG=CF．

（2）BE+CF＞EF．

∵△BGD≌△CFD，

∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥FG，

∴EG=EF．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

19．（2018·浙江中考真题）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1  等腰三角形中，，求的度数.（答案：）

例2  等腰三角形中，，求的度数.（答案：或或）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式  等腰三角形中，，求的度数.

（1）请你解答以上的变式题.

（2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围.

【答案】（1）或或；（2）当且，有三个不同的度数.

【解答】（1）当为顶角，则，

当为底角，若为顶角，则，

若为底角，则，

∴或或.

（2）分两种情况：

①当时，只能为顶角，

∴的度数只有一个.

②当时，

若为顶角，则，

若为底角，则或，

当且且，即时，

有三个不同的度数.

综上①②，当且，有三个不同的度数.

20．（2018·江苏中考真题）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．

【答案】（A类）证明见解析；（B类）证明见解析.

【详解】（A类）连接AC，

∵AB=AC，AD=CD，

∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，

∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，

即∠BAD=∠BCD；

（B类）连接AC，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD．

21．（2016·江苏中考真题）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O

（1）求证：OB=OC；

（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BOC=1000

【解析】

（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；

（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．