【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试20 勾股定理（培优提高）（教师版）

专题20 勾股定理（专题测试-提高）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．（2018·山东中考模拟）将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（　　）

A．6 B．3 C．4 D．6

【答案】D

【详解】

如图，作AH⊥CH，

在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，

∴AC=2AH=6，

在Rt△ABC中，AB=．

故选D．

2．（2014·四川中考真题）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（ ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

试题分析：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．

设AB=AD=x．

又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形形，

∴AD=EF=x．

在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，

∴BE=AB=x，

∴DF=AE==x，

在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x．

又BC=6，

∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，

解得 x=2

∴△ACD的面积是：AD•DF=x×x=×22=．

故选A．

3．（2018·广东铁一中学中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（　　）

A．m2 B．m2+1 C．2m2 D．（m+1）2

【答案】A

【详解】

解：如图，作AD⊥BC交BC于D，

AB2=BD2+AD2 ①，

AP2=PD2+AD2 ②，

①﹣②得：

AB2﹣AP2=BD2﹣PD2，

∴AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD），

∵AB=AC，

∴D是BC中点，

∴BD+PD=PC，BD﹣PD=PB，

∴AB2﹣AP2=PB•PC，

∴PA2+PB•PC=AB2=m2．

故选A.

4．（2019·河南中考模拟）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=5cm，BC=13cm，BD是AC边上的中线，则△BAD的面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由勾股定理得，，

∵BD是AC边上的中线，

∴AD=6，

∴△BAD的面积=×5×6=15（cm2），

故选A．

5．（2019·安徽中考模拟）用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成直角三角形的是（　　）

A．a2＝（b+c）（b﹣c） B．a：b：c＝1：：2

C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a＝5，b＝12，c＝13

【答案】C

【解析】

试题解析：∵a2=（b+c）（b﹣c），

∴a2=b2﹣c2  ，

∴a2+c2=b2  ，

根据勾股定理的逆定理可得，用a、b、c作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项A错误；

∵a：b：c=1：：2，

∴设a=x，b=x，c=2x，

∵，

∴用a、b、c作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项B错误；

∵a=32， b=42， c=52，

∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2  ，

∴用a、b、c作三角形的三边，不能构成直角三角形，故选项C正确；

∵a=5，b=12，c=13，

52+122=25+144=169=132  ，

∴用a、b、c作三角形的三边，能构成直角三角形，故选项D错误；

故选C．

6．（2019·山东中考模拟）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　）

A．S12+S22＝S32 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝S3

【答案】D

【详解】

设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．
则，，．
又，
则．
故选D．

7．（2019·四川中考模拟）如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（  ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【详解】

如图所示，路径一：AB；

路径二：AB．

∵，∴蚂蚁爬行的最短路程为．

故选C．

8．（2017·江苏中考模拟）圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（      ）

A．12π cm2                    B．20π cm2                  C．26π cm2                    D．36π cm2

【答案】D

【解析】

试题分析：底面周长是2×4π＝8πcm，底面积是：42π＝16πcm2．

母线长是：＝5，

则圆锥的侧面积是：×8π×5＝20πcm2，

则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm2．

故选D．

9．（2014·广东中考模拟）如图，点A的坐标为(﹣，0)，点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为(    )

A．(﹣，﹣)    B．(﹣，﹣)

C．(，-)    D．(0，0)

【答案】A

【解析】

试题分析：过A作AB⊥直线y=x于B，则此时AB最短，过B作BC⊥OA于C，

∵直线y=x，

∴∠AOB=45°=∠OAB，

∴AB=OB，

∵BC⊥OA，

∴C为OA中点，

∵∠ABO=90°，

∴BC=OC=AC=OA=，

∴B（-，-）．

故选A．

10．（2019·天津中考真题）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于（    ）

A． B． C． D．20

【答案】C

【详解】

解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），
∴AO=2，OB=1，ACBD
∴由勾股定理知：

∵四边形为菱形

∴AB=DC=BC=AD=

∴菱形的周长为：．

故选：C．

11．（2019·山东中考模拟）一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（　　）

A．6 B．12 C．7.5 D．10

【答案】A

【详解】

∵32+42＝52，∴此三角形是直角三角形，

∴S△＝×3×4＝6．

故选：A．

12．（2019·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（－4，0），则原点到直线AB的距离是

A．2 B．2.4 C．2.5 D．3

【答案】B

【详解】

解：在坐标系中，OA＝3，OB＝4，

∴由勾股定理得：AB＝，

设点O到线段AB的距离为h，

∵S△ABO＝OA•OB＝AB•h，

∴3×4＝5h，

解得h＝2.4．

故选：B．

二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13．（2019·北京中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD=2，BD=4，则AE的长是_____．

【答案】

【详解】

解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴CD=ED．

又AD=AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）

∴AE=AC．

在Rt△BDE中，BE=＝2．

设AE=x，则AC=x，AB=2+x，

在Rt△ABC中，利用勾股定理得（2+x）2=62+x2，

解得x=2．

所以AE长为2．

故答案为2．

14．（2019·北京中考模拟）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km，北京生存岛实践基地A处的坐标是(2，0)，A处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，且A在B南偏西45°方向上，则雁栖湖国际会展中心B处的坐标是_____．

【答案】(2+2，2)

【详解】

如图，建立平面直角坐标系，过点B作BC⊥x轴于C，作BD⊥y轴于D，

则BD＝OC．

∵A处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，A在B南偏西45°方向上，

∴AB＝4km，∠BAC＝∠ABC＝45°．

∴AC＝BC．

∵AC2+BC2＝AB2＝16，

∴AC＝BC＝2．

∴OC＝OA+AC＝2+2．

∴B(2+2，2)．

故答案是：(2+2，2)．

15．（2013·福建中考真题）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___．

【答案】10

【解析】

试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，

∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，

∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10。

16．（2018·福建中考模拟）已知|a-6|+（2b-16）2+=0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是______．

【答案】直角三角形

【解析】

由题意得：a-6=0，2b-16=0，10-c=0，

解得：a=6，b=8，c=10，

∵62+82=102，

∴三角形为直角三角形，

故答案为：直角三角形．

17．（2015·山东中考真题）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为           ．

【答案】

【解析】

试题分析：如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，．

三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）

18．（2018·广东中考模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．

（1）求证：△ABF≌△EDF；

（2）若AB=6，BC=8，求AF的长.

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】

（1）证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，

由折叠得：DE=CD，∠C=∠E=90°，

∴AB=DE，∠A=∠E=90°，

∵∠AFB=∠EFD，

∴△ABF≌△EDF（AAS）；

（2）解：∵△ABF≌△EDF，

∴BF=DF，

设AF=x，则BF=DF=8﹣x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

BF2=AB2+AF2，即（8﹣x）2=x2+62，

x=，即AF=

19．（2018·北京北师大实验中学中考模拟）如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F；

（1）求证：DE=CF；

（2）若∠B=60°，求EF的长．

【答案】证明见解析；．

【详解】

证明：、E分别是AB、AC的中点

，

又

四边形CDEF为平行四边形

．

，

，

又为AB中点

，

在中，

，

，

四边形CDEF是平行四边形，

．

20．（2017·湖北中考模拟）如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．

【答案】

【解析】

延长AD到E使AD=DE，连接CE，

在△ABD和△ECD中，

∴△ABD≌△ECD，

∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，

在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，

∴AC2=AE2+CE2，    ∴∠E=90°，

 由勾股定理得：CD=，

∴BC=2CD=2，

答：BC的长是2．

21．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）如图所示，已知⊿中，；求的值.

【答案】

【详解】在中，∵，∴ 90°-60°=30°，∴，

由勾股定理，得，

∵   ∴，

∴ ，

∴，.