【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-25 锐角三角形（基础）（教师版）

专题25 锐角三角形（专题测试-基础）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．（2013·四川中考真题）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ）

A．40m    B．80m    C．120m    D．160m

【答案】D

【解析】

过A作AD⊥BC，垂足为D．

在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，

∴BD=AD•tan30°=120×m，

在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，

∴CD=AD•tan60°=120×=120m，

∴BC=BD+CD=m．

故选D．

2．（2018·四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

过A向x轴作垂线，垂足为B，

因为A（1，2），即OB=1，AB=2，

所以OA=，

由锐角三角函数的定义可知，．

故选A．

3．（2019·天津市红光中学中考模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题解析：由中, 得

由

得

故选D.

4．（2019·四川中考模拟）如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为(　  　)

A．m B．m C． m D． m

【答案】A

【详解】

设PA=PB=PB′=x，

在RT△PCB′中，sinα=，

∴=sinα，

∴x-1=xsinα，

∴（1-sinα）x=1，

∴x=．

故选A．

5．（2018·重庆中考真题）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（    ）

（参考数据：，，）

A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米

【答案】B

【详解】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE，则四边形BHMC是矩形，

∴HM=BC=1，BH=CM，

∵，i=CM：DM，

∴DM=0.75CM，

∵DM2+CM2=CD2，，

∴CM=1.6，DM=1.2，

∴HE=HM+DM+DE=1+1.2+7=9.2，

在Rt△AHE中，∠AEB=58°，∴tan58°=，

即=1.6，

∴AH=14.72，

∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米），

故选B.

6．（2019·湖南中考真题）已知为锐角，且，则 （　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵为锐角，且，

∴．

故选A．

7．（2017·重庆中考模拟）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（    ）．

A． B．51 C． D．101

【答案】C

【解析】

解：设AG=x，

在Rt△AEG中，

∵tan∠AEG=，

∴EG==x，

在Rt△ACG中，

∵tan∠ACG=，

∴CG==x，

∴x﹣x=100，

解得：x=50．

则AB=50+1（米）．

故选C．

8．（2019·天津二十中中考模拟）在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,∠A,∠B都是锐角,则∠C度数是（    ）

A．75° B．90° C．105° D．120°

【答案】C

【详解】

解：∵|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，

∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，

∴sinA=， =cosB，

∴∠A=45°，∠B=30°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．

故选C．

9．（2019·江苏中考模拟）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为(　　)

A．60(+1)米 B．30(+1)米 C．(90﹣30)米 D．30(﹣1)米

【答案】B

【详解】

作BD⊥CA交CA的延长线于D，

设BD＝xm，

∵∠BCA＝30°，

∴，

∵∠BAD＝45°，

∴AD＝BD＝x，

则x﹣x＝60，

解得)，

答：这段河的宽约为30()米．

故选B．

10．（2012·湖北中考模拟）在Rt△ABC中，ÐC=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则ÐA的正弦值（ ）

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变

【答案】D

【解析】

根据相似三角形的概念，知若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．故选D．

11．（2019·广东中考模拟）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（      ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】A

【详解】

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，

BO=AB•sinα=300sinα米．

故选A．

12．（2019·吉林中考模拟）如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（  ）

A．米 B． 米 C． 米 D．米

【答案】A

【详解】

解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB•sinα=9sin31°（米）．
故选：A．

二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13．（2019·浙江中考真题）如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米。（精确到1米，参考数据：，）

【答案】566

【详解】

设与正北方向线相交于点，

根据题意，所以，

在中，因为，

所以，

中，因为，

所以（米）。

故答案为：566.

14．（2019·浙江中考真题）如图，人字梯，的长都为2米.当时，人字梯顶端高地面的高度是____米（结果精确到.参考依据：，，）

【答案】1.5.

【详解】

在中，

∵，，

∴，

∴.

故答案为：1.5.

15．（2019·山东中考真题）如图，一架长为米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为______米．（，，，）

【答案】

【详解】

由题意可得：

∵，，

，

解得：，

∵，，

，

解得：，

则，

答：的长度约为米．

故答案为：．

16．（2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．

【答案】70.

【详解】

解：∵sinα＝cos20°，

∴α＝90°﹣20°＝70°．

故答案为：70．

17．（2019·上海中考模拟）为了测量某建筑物BE的高度(如图)，小明在离建筑物15米(即DE＝15米)的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝_____米．

【答案】16.8

【详解】

解：如图，∠CAB=45°

AD=1.8

BE=BC+CE=16.8

故答案为：16.8

三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）

18．（2019·河南中考模拟）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,≈1.4）

【答案】云梯需要继续上升的高度约为9米.  

【详解】

过点作于点，于点，

∵    ，                                            

∴，

∴四边形为矩形.

∴米.                             

∴（米），

由题意可知，，，

∵，

∴，

在中，，

∴（米）.

在中，，

∴（米）.

∴（米）.

答：云梯需要继续上升的高度约为9米.

19．（2019·湖南中考模拟）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

【答案】高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．

【解析】

在Rt△ACE中，

∵tan∠CAE=，

∴AE=

在Rt△DBF中，

∵tan∠DBF=，

∴BF=.

∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）

∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF

∴四边形CEFH是矩形，

∴CH=EF=151（cm）.

答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．

20．（2019·天津中考模拟）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）

【答案】标语牌CD的长为6.3m．

【解析】

如图作AE⊥BD于E．

在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，

∴BE=AB=5（m），AE=5（m），

在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），

∴BD=DE+BE=12.79（m），

∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），

答：标语牌CD的长为6.3m．

21．（2019·四川中考模拟）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.

（参考数据：，）

【答案】该建筑物需要拆除.

【解析】

由题意得，米，米，

在中，，

∴，

在中，，

∴，

∴ （米），

∵米米，

∴该建筑物需要拆除.