专题2 函数与导数-2021届高考数学重点专题强化卷

2021届高考数学重点专题强化卷

专题二函数与导数

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知函数为偶数，且，若，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【详解】

由为偶数，得，则，以代替则，则，所以2是函数的周期，又，则.

故选：B

2．已知实数，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

解：因为，，所以，，

由，，得，．

反之，若，取，，则，但是．

故选：A．

3．下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

A．是奇函数，且在上有增有减，故不满足；

B．是非奇非偶函数，故不满足；

C．是奇函数，且在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；

D．是奇函数，且在上单调递增，故满足，

故选：D.

4．已知函数f(x)＝lg(1－x)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝（    ）

A．{x|x≤1} B．{x|x≤1且x≠0}

C．{x|x>1} D．{x|x<1且x≠0}

【答案】D

【详解】

由题意知，M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|x≠0}，

所以M∩N＝{x|x<1且x≠0}.

故选：D.

5．已知偶函数的定义域为，导函数为，，，则不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【详解】

设，则易知为偶函数

又

则当时，函数为增函数

当时，函数为减函数

又，不等式可化为

即，所以或，所以不等式的解集为或

故选：D.

6．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

依题意得，所以，又，

所以函数的图象在点处的切线方程为.

故选：D.

7．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，，解得，则，

则当时，，即恒成立，

令，则，

当时，，时，，

所以在上是减函数，在是增函数，，

又因为当时，取得最大值1，

所以当时，取得最大值，

所以.

故选：B.

8．已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

构造函数，则.

∵，∴函数在上单调递减，

∴，

∴.

故选：B.

9．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

依题意有，  ①

， ②

①②得，又因为，

所以，在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为.

故选:D.

10．已知函数，若，，，则（    ）

A．（b）（c）（a） B．（b）（a）（c）

C．（c）（a）（b） D．（c）（b）（a）

【答案】A

【详解】

，，，

又，

，

又在，上单调递增，

（b）（c）（a）．

故选：A．

11．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵，令，

∴，∴时，在单调递增；

∴时，在单调递减.如图，∴，

∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；

当时，在上单调增减，成立；

当时，有两个根，，

∵当时，，；

当时，，；

当时，，，

∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.

综上，.

故选：A

12．已知函数，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】A

【详解】

，则，定义域为，

当时，.所以，函数在区间上单调递增，

故函数，.

由于存在、、、，使得成立，

则，得，，则的最大值为7.

故选:A.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为______.

【答案】

【详解】

由题意得，.

令得，，

所以，解得或，

从而或.

当时，，解得，，与矛盾，故舍去；

当时，，，符合题意.

故函数的零点为.

故答案为：.

14．已知是定义在上的奇函数，当时，(a为常数)，则曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【详解】

解：由是定义在R上的奇函数，可得，

当时，，

当，即有，，

，

则导数为，，

又切点为，切线方程为，

即.

故答案为：.

15．已知函数，且，则_________．

【答案】

【详解】

，

，，

，

故答案为：.

16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.

【答案】

【详解】

解：由题意，在区间上的图象如下图所示：

根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，

则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，

如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．

此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．

设函数图象向下平移了个单位，（）．

，解得.

∴此时函数的最大值为．

根据绝对值函数的特点，可知

实数的取值范围为：．

故答案为：．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知函数定义在上有恒成立，且当时，．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）求函数的值域．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【详解】

（1）因为函数定义在上有恒成立，

所以函数为奇函数，所以；

（2）当时，，所以，

因为是定义在上的奇函数，

所以，即，

所以函数的解析式为；

（3）令，当时，，则当时，

可写为，所以，

由是定义在上的奇函数，可得.

18．已知函数其定义域为

（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.

（2）若 求的取值范围.

【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）.

【详解】

（1）函数在上递减，证明如下：

任取，且，则，由于，故，即，故函数在上递减.

（2）由（1）可知函数在定义域上递减，故由得，解得.

19．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

20．设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.

（1）求的值；

（2）求函数的极值；

（3）证明:.

【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.

【详解】

解：（1），

则，

故在处的切线方程，

把点代入切线方程可得，，

（2）由（1）可得，

易得，当时，，函数单调递减，当时,，函数单调递增，

故当时，函数取得极小值，没有极大值，

证明：（3）等价于，

由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，

所以，

故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）

设，则，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以，当且仅当时等号成立，②

因为①②等号不同时成立，

所以当时，.

21．已知函数，.

（1）求的定义域与值域；

（2）设命题的值域为，命题的图象经过坐标原点.判断，的真假，说明你的理由.

【答案】（1）定义域为；值域为；（2）为假命题，为真命题，理由见解析.

【详解】

（1）由，得或，

则的定义域为，

因为取遍所有正数，所以的值域为；

（2），

的定义域为，则的值域为，为真命题；

因为的定义域为，所以的图象不可能经过坐标原点，则为假命题，

所以为假命题，为真命题.

22．已知函数，其中e是自然对数的底数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．

【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）见解析

【详解】

解：（1）因为，所以.

由得；由得.

所以由的增区间是，减区间是.

（2）因为.

由，得或.

设，又即不是的零点，

故只需再讨论函数零点的个数.

因为，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增.

所以当时，取得最小值.

①当即时，无零点；

②当即时， 有唯一零点；

③当，即时，因为，

所以在上有且只有一个零点.

令则.

设，

所以在上单调递增，

所以，都有.

所以.

所以在上有且只有一个零点.

所以当时，有两个零点

综上所述，当时，有一个零点；

当时，有两个零点；

当时，有三个零点.