第07讲 函数的定义域与值域-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第7讲：函数的定义域与值域
一、 课程标准
1、会求一些简单函数的定义域

2、会求一些简单函数的值域.

二、 基础知识回顾
1、 常见函数的定义域：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
(5)y＝tan x的定义域为.
(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导；

三、 自主热身、归纳总结
1、函数f(x)＝的定义域为( )
A. (0，1)　　　　　　 B. (1，2)
C. (0，1)∪(1，2)　　　　 D. (－2，0)∪(1，2)
【答案】C.
【解析】　为使函数有意义，必须且只须解得0 2、函数的y＝值域为( )
A. [0，＋∞)　　　　　 B. [0，2]
C. [2，＋∞)　　　　　 D. (2，＋∞)
【答案】B
【解析】　设μ＝－x2－6x－5，则原函数可化为：y＝.
又∵μ＝－x2－6x－5＝－2＋4≤4，∴0≤μ≤4，故∈，
∴函数y＝的值域为.故选B.
3、函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函数g(x)＝x·f(x)，那么函数g(x)的值域为(　　)

A．[0，2]　　　　　　　 B.
C. D．[0，4]
【答案】B
【解析】　由题图可知，直线OA的方程是y＝2x；因为kAB＝＝－1，所以直线AB的方程为y＝－(x－3)＝－x＋3.
所以f(x)＝
所以g(x)＝x·f(x)＝
当0≤x≤1时，g(x)＝2x2，此时函数g(x)的值域为[0，2]；
当1 综上可知，函数g(x)的值域为.故选B.
4、下列函数中定义域是的有　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于，函数，定义域为，满足题意；
对于，函数，定义域为，不满足题意；
对于，函数，定义域为，满足题意；
对于，函数，定义域为，，，不满足题意．
故选：．
5、(2019泰州期末）函数y＝的定义域是________．
【答案】. [－1，1]　
【解析】要使函数式有意义，则有1－x2≥0，即x2－1≤0，解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．
6、(2019苏州三市、苏北四市二调）（D28,6. 函数y＝的定义域为________．
【答案】 [2，＋∞)　
【解析】由4x－16≥0，得4x≥16＝42，解得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．
7．【2020江苏扬州中学月考】函数的定义域为_______．
【答案】
【解析】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：．
8．【2020江苏南京学期初联考】函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由，得，函数的定义域为，故答案为．


四、 例题选讲
考点一、求函数的定义域
例1、1．【2020江苏“丹靖沭”10月联考】函数的定义域为____．
【答案】
【解析】由，解得，所以定义域为．
变式1、【2020江苏镇江上学期期中考试】函数的定义域是______________．
【答案】
【解析】由题意得 解得：，故答案为：．
变式2、【2020江苏高邮开学考试】函数的定义域为______
【答案】(1，3]
【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，故答案为．
变式3、．【2020江苏常州高三上学期期中考试】已知的定义域为，则的定义域为________________．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以-1≤log2x≤1，
所以． 故f(log2x)的定义域为．
变式4、已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)
A．(－2，0)　　　　　　　　 B．(－2，2)
C．(0，2) D.
【答案】C
【解析】由题意得∴
∴0 ∴函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0，2)．
求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
考点二、函数定义域中的参数问题
例2、若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】∵函数y＝的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3≠0，
∴m＝0或
即m＝0或0 ∴实数m的取值范围是.
变式1、函数的定义域为R，则实数k的取值范围是 ．
【解析】函数的定义域为R，
∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，
k＝0时，不等式为0恒成立；
k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，
解得0＜k＜3，
综上，实数k的取值范围是[0，3）．
故答案为：[0，3）．
变式2、设函数f（x）．
（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
【解析】（1）当a＝5时，f（x），
由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，
得或或，
解得：x≥4或x≤﹣1，
即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．
（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，
即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，
而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，
所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．
方法总结：已知函数定义域反求参数范围的问题，是关于函数定义域的逆向问题，求解的基本思路是：逆向问题正向解，即仍然从求函数的定义域入手思考，先将问题转化成含参数的不等式，然后通过对这个含参数的不等式的研究得出参数的取值范围．
考点三、求函数的值域
例3　求下列函数的值域．
(1)y＝，x∈[3，5]；
(2)y＝(x>1)．
【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y＝＝2－，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，∴ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是.
(方法2)(反表示法)由y＝，得x＝.∵x∈[3，5]，∴3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.
(2)(基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，
∴y＝＝＝t＋－2(t>0)．∵t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．
变式1、(2019·深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________．
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
【答案】(1)[3，＋∞)　(2)1　　(3)2
【解析】　(1)图象法
函数y＝
作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
(2)单调性法
∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
变式2、函数f(x)＝的值域为________________．
【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)
【解析】当x>0时，f(x)＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时取等号；
当x<0时，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2取等号，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
变式3、　(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________；
(2)函数y＝x－的值域为________．
【答案】(1)2　(2)[－2，2]
【解析】　(1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.
(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，
则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ
＝2cos，
因为θ＋∈，
所以cos∈，所以y∈[－2，2]．

变式4、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．
【答案】 (－2，0)
【解析】　 根据条件可以将问题等价转化为关于函数y＝f(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．
由题意，存在a∈R，使得f(a)＝－g(b)，令h(b)＝－g(b)＝b2＋2b＋2.
当a≤－时，f(a)＝＝－＋＋1＝－2＋2，因为a≤－，所以－2≤<0，从而－7≤f(a)<1；
当a>－时，f(a)＝log，因为a>－，所以>，从而f(a)<2.
综上，函数f(a)的值域是(－∞，2)．
令h(b)<2，即b2＋2b＋2<2，解得－2 方法总结：　1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域；
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，得出值域；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求
五、优化提升与真题演练
1、已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为(　　)
A. B.
C．[－3，1] D.
【答案】A
【解析】　由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
即f(x)的定义域为[－1，3]．
由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，
则函数f(3x－2)的定义域为，故选A.
2、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）函数f(x)＝的定义域是________．
【答案】 [－2,2]　
【解析】思路分析 被开方数lg(5－x2)非负．
由lg(5－x2)≥0，得5－x2≥1，即x2－4≤0，解得－2≤x≤2.

3、(2017常州期末） 函数y＝＋lg(x＋2)的定义域为________．

【答案】. (－2,1]　
【解析】由题意可得解得－2＜x≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．

4、(2018苏北四市期末）函数y＝的定义域为________．
【答案】(0，1]　
【解析】由得所以0 5、(2018南京、盐城一模）设函数y＝ex＋－a的值域为A，若A⊆[0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，2]　
【解析】因为ex>0 ，所以y＝ex＋－a≥2－a＝2－a，当且仅当ex＝1，即x＝0时取等号．故所求函数的值域A＝[2－a，＋∞)．又A⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.
6、（2016苏州期末）函数f(x)＝的值域为________．
【答案】 (－∞，1]　
【解析】思路分析 先画出图像看看．

分段画出f(x)的图像即可看出函数的值域为(－∞，1]．

7、[2018·江苏高考]函数f(x)＝的定义域为 ．
【答案】[2，＋∞)
【解析】　(1)为使函数有意义，必须且只须自变量x满足log2x－1≥0，
解得x≥2.故原函数的定义域为[2，＋∞)．
8、 已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域．
【答案】.
【解析】∵函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，2]，∴1≤x≤2，得3≤x＋2≤4，即函数y＝f(x)的定义域为[3，4]．
为使函数y＝f(2x＋2)有意义，必须且只须自变量x满足3≤2x＋1≤4，解得1≤x≤.
∴函数y＝f(2x＋1)的定义域为.

9．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是
【答案】0≤a<.
【解析】　当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a<.
10、(一题两空)设函数f(x)＝的图象过点(1，1)，则f(x)的值域为________；若函数g(x)是二次函数，且函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
【答案】(－1，＋∞)　[0，＋∞)

【解析】因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，

当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为(－1，＋∞)，
f(g(x))的值域为[0，＋∞)，
因为g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
11、求函数y＝x＋的值域．
【解析】　(方法1)令＝t，则t≥0，且x＝.
∴y＝＋t＝(t2＋2t－1)＝(t＋1)2－1，t∈[0，＋∞)，
由二次函数的图像知，
当t∈[0，＋∞)时，
y＝(t＋1)2－1是单调递增函数，
故当t＝0时，ymin＝－.
∴函数y＝x＋的值域为
(方法2)由2x＋1≥0得x≥－，
即函数y＝x＋的定义域为
易得函数y＝x＋在上单调递增，
∴ymin＝y|x＝－＝－，不存在最大值．
∴函数y＝x＋的值域为.

12、 已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
【解析】(1)∵f(x)的值域是[0，＋∞)，即fmin(x)＝0，
∴＝0，∴a＝－1或.
(2)若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，
即2a2－a－3≤0，∴－1≤a≤，
∴g(a)＝2－a|a－1|＝
当－1≤a≤1，g(a)＝a2－a＋2＝2＋，
∴g(a)∈；
当1 ∴函数g(a)＝2－a|a－1|的值域是.