第09讲 函数的奇偶性与周期性-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第9讲：函数的奇偶性与周期性
一、 课程标准
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

二、 基础知识回顾
1、 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．
2、 奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．
(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
3、 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4、函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
5、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6、函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

三、 自主热身、归纳总结
1、对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：
①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
其中，正确的说法是(A )
A. ①③　 B. ①④ C. ②③ D. ③④　
【答案】A
【解析】　根据偶函数的定义，①③正确，若举例奇函数
由于f(－2)＝f(2)，∴②④都错误．故填写①③.

2、(2019·郴州第二次教学质量检测)已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．[－1，1] D.
【答案】B
【解析】　(1)∵f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
∵f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.
又因为定义域为[－2，2]，所以
解得∴－1≤x≤.

3、函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)