第16讲 函数模型及其运用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第16讲：函数模型及其运用
一、 课程标准
1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.

二、 基础知识回顾
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
3. 解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．

三、 自主热身、归纳总结
1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(C )
(参考数据lg2＝0.301 0，lg5＝0.699)
A. 10　　　　　　　　 B. 12　　　　　　　　　 C. 14　　　　　　　　 D. 16
【答案】C
【解析】　由题意可得(1－20%)nlog0.80.05≈13.42，故至少过滤14次．故选C.
2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克1.2元的价格出售，那他就会赔4元，如果他以每千克1.5元的价格出售，一共可赚8元．现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为(B )
A. 1.1元　　　　　　 B. 1.3元　　　　　 C. 1.5元　　　　　　 D. 2.0元
【答案】B
【解析】　设共有水果x千克，则1.2x＋4＝1.5x－8，得x＝40，不赔不赚的价格为＝1.3元．故选B.
3、.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
【答案】30
【解析】　一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
答案　30
4、一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．
（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？
（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．
（a）说明图①中点A和点B的实际意义；
（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．

【答案】(1) A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．
(2)（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
（b）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；
【解析】
（1）设A,B两站相距千米，行驶时间是小时，依题意得，解得（千米/小时），即如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是（千米/小时）.（2）（a）A点表示公交公司的该条公交线路的运营成本为万元；B点表示当乘客量为万人时，公交公司的该条公交线路收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③，反映公交公司意见的是图②.
5、水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i－1