第13讲 对数函数-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第13讲：对数函数一、课程标准1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。4、知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，a≠1)。二、基础知识回顾1、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 2、反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为(B )A. 　　　  B. C. 　　　　  D. 2、若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是(B )A. 0＜a＜b＜1　　　　  B. 0＜b＜a＜1C. a＞b＞1　　　　　  D. b＞a＞13、函数的单调减区间为（   ）A． B． C． D．4、（2019秋•菏泽期末）已知函数，，，则　　A．函数的定义域为 B．函数的图象关于轴对称 C．函数在定义域上有最小值0 D．函数在区间上是减函数5、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．6、(2018盐城三模）．函数的定义域为   ▲   ． 四、例题选讲考点一对数函数的性质及其应用例1、（1）函数的定义域为（   ）A． B．C． D．（2）已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞c　　　　　 B．b＞a＞cC．c＞b＞a  D．c＞a＞b（3）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0，1)变式1、(1)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为             ；(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为             ；(3)若函数f(x)＝(ax＋4)在[－1，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是                  ．变式2、已知是偶函数，则（　　）A． B．C． D． 方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解． 考点二 对数函数的图像及其应用例2（1） [2019·潍坊一模]若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图像可以是(D )A　　　　B C　　D（2）已知f(x)＝|lgx|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是                     ．变式1、(1)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C．(1，)  D．(，2)变式2、关于函数下列描述正确的有　　A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 方法总结：　(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 考点三 对数函数的综合及应用例3、已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．    变式1、　在函数f(x)＝(x2－2ax＋3)中．(1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．    变式2、已知f(x)＝lg是奇函数．(1)求m的值及函数f(x)的定义域；(2)根据(1)的结果判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．      方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解． 五、优化提升与真题演练1、已知，则是（   ）A．偶函数，且在是增函数 B．奇函数，且在是增函数C．偶函数，且在是减函数 D．奇函数，且在是减函数2、已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是(   )A．    B．C．    D．3、【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1oga（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）A． B． C． D．4、(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2C．f(x)在(2，6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称5、(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　) A．k＜0，0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．fg(1)＞0(x＞0)D．x＞1时，f(x)－g(x)＞06、(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)7、【2018年江苏05】函数f（x）的定义域为　　　　．8、函数为奇函数，则实数__________．9、已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．