第19讲 利用导数研究函数的极值和最值-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第19讲：利用导数研究函数的极值和最值
一、 课程标准
1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，
3、会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

二、 基础知识回顾
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

三、 自主热身、归纳总结
1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)
A．1＋ln 2 B．1－ln 2
C. D.
【答案】C
【解析】 因为f(x)＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－，令2x－＝0得x＝，令f′(x)>0，则 x>；令f′(x)0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－200恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
5、(多项选择)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述错误的是( )


第1题图
A. f(b)＞f(a)＞f(c)；
B. 函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；
C. 函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；
D. 函数f(x)的最小值为f(d).
【答案】ABD
【解析】　由导数与函数单调性的关系知，
当f′(x)＞0时f(x)递增，f′(x)＜0时f(x)递减，
结合所给图像知，x∈(a，c)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(a，c)上单调递增，故f(a)＜f(b)＜f(c)，A错误；x∈(c，e)时，f′(x)＜0, ∴f(x)在(c，e)上单调递减，函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；故C正确，B、D错误.故选A，B，D.
6、(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　　)
A．f(a)＞f(e)＞f(d)
B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减
C．函数f(x)的极值点为c，e
D．函数f(x)的极大值为f(b)
【答案】ABD　
【解析】由题图可知，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，c)上递增，在(c，e)上递减，在(e，＋∞)上递增，所以f(d)＞f(e)，故A错误；函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，c]上递增，在[c，d]上递减，故B错误；函数f(x)的极值点为c，e，故C正确；函数f(x)的极大值为f(c)，故D错误．
7．(多选)对于函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)在x＝1处取得极大值
B．f(x)有两个不同的零点
C．f(4)＜f(π)＜f(3)
D．πe2＞2eπ
【答案】AC　
【解析】由函数f(x)＝，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝.当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．可得函数f(x)在x＝1处取得极大值，所以A正确；因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4＞π＞3＞1，可得f(4)＜f(π)＜f(3)，所以C正确；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且π＞2＞1，可得＜，即πe2＜2eπ，所以D错误．故选A、C.
8、 函数f(x)＝x3－4x＋的极大值是____，极小值是____．
【答案】 ，－5
【解析】　f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－5.
9、f(x)＝的极小值为________．
【答案】－
【解析】f′(x)＝＝.
令f′(x)0，得－20时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
考点二利用导数研究函数的最值
例2、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
[解]　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当01时，f′(x)0，结合x∈(0，e]，
解得0