第22讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第22讲：同角三角函数的基本关系及诱导公式一、课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.2．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式. 二、基础知识回顾1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式 一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsin α－sin α－sin αsin_αcos_αcos_αcos α－cos αcos α－cos_αsin_α－sin_αtan αtan α－tan α－tan_α   3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法． 4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sin＝sin＝cos；cos＝cos＝sin. 三、自主热身、归纳总结1、是第三象限角，且，则（　　）A． B． C． D．2、已知，则（   ）A． B．6 C． D．3、(多选)已知＝5，下列计算结果正确的是(　　)A．tan α＝  B．tan α＝2C．cos2α＋sin 2α＝  D．sin2α－cos 2α＝4、化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.5、(一题两空)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θcos(π－θ)＝________，tan θ＝________.  四、例题选讲考点一、 三角函数的诱导公式例1、角的终边在直线上，则（  ）A． B． C． D． 变式1、 已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝__     __． 变式2、已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________. 变式3、(1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．   方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．  考点二 同角函数关系式的运用例2　(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_  __．(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．变式1、若3sinα＋cosα＝0，则＝   ___． 变式2（徐州开学初模拟）已知，则（   ）A． B． C． D．  变式3、(1)若tan(α－π)＝，则＝(　　)A.－   B.－2   C.   D.2(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)A.－   B.   C.－   D. 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 考点三、同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3、已知，则（   ）A． B． C． D． 变式1、(1)(2020·邯郸联考)已知3sin＝－5cos，则tan＝(　　)A.－   B.－   C.   D.(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)A.   B.   C.   D.  变式2、是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．   方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 五、优化提升与真题演练1、(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 2、（2018年高考全国Ⅱ理数）已知，，则__________．  3、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．     .4、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．