第32讲 平面向量的应用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第32讲：平面向量的应用
一、 课程标准
1、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
二、 基础知识回顾
1. 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔＝⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝
.
(5)用向量方法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2. 向量在解析几何中的应用
(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝；如果已知直线的斜率为k＝，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．
(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－(x－x0)．

三、 自主热身、归纳总结
1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【答案】C　
【解析】由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
2、在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是________三角形．( )
A. 等边　 B. 等腰　 C. 直角　 D. 等腰直角
【答案】C.
【解析】　由(＋)·＝|AC|2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．
3. 在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于( )
A. 48　　　 B. 36　　　 C. 24　 D. 12
【答案】24
【解析】　·＝(＋)·(＋)＝·＝
2－2＝×82－×62＝24.
4. 设a，b，c都是单位向量，且a·b＝0，则(c－a)·(c－b)的最小值为 __．
【答案】1－
【解析】　不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cosθ，sinθ)，则易得(c－a)·(c－b)＝1－sin(θ＋)．故得其最小值为1－.
5、平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为 ___．
【答案】y2＝8x(x≠0)
【解析】　由题意得＝(2，－)，＝(x，)，又⊥，∴·＝0，即(2，－)·(x，)＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．
6、在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积的比值是___.
【答案】
【解析】　由题意可得＝－－＝－＝2，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.
7、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ的值为________．
【答案】、
【解析】、解法1(基底法) 因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ)，所以·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝λ||2＋(λ－1)||2＋(1－2λ)·＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos120°＝19λ－12＝－，解得λ＝.
解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，设点M的坐标为(x，y)，则(x－3，y)＝λ(－1－3，)，即故·＝(3－4λ，λ)·(－4，)＝19λ－12＝－，解得λ＝.

四、 例题选讲
考点一、向量的平行与垂直
例1、(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【答案】(1)B　(2)
【解析】(1)∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.
(2)由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
变式1、(1)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD的形状是( )
A. 矩形　　 B. 菱形　　 C. 正方形　 D. 梯形
(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 内心　 B. 外心　 C. 重心　 D. 垂心
【答案】C.
【解析】　(1)＋＝0⇒＝－＝⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(－)·＝·＝0⇒⊥，∴平行四边形ABCD是菱形．故选B.
(2) 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，∴点P的轨迹必过△ABC的重心．
【答案】C.
变式2、(2018苏北四市期末） 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，连结BE，则·的值为________．

【答案】 －　
【解析】 建立平面直角坐标系xOy，写出A，B，C，D各点的坐标，利用坐标法求解．
解法1(坐标法) 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，D，所以直线AD：y＝x，直线CE：y＝－x＋.联立得E，所以＝，＝，从而·＝－＝－.

解法2(向量的数量积) ·＝ED2－DC2＝－CE2.
由(2)2＝(＋)2，得4AD2＝9＋4－6＝7，即AD＝.因为S△ADC＝S△ABC＝，且S△ADC＝AD·CE＝CE，所以CE2＝.故·＝－.
解法3(基底法) 因为E在中线AD上，所以可设＝λ(＋)，则＝(1－λ)－λ，同理＝(1－λ)－λ，所以·＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由·E＝0，得(＋)·[(1－λ)－λ]＝0，可解得λ＝.从而·＝－3－＝－.
方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数
考点二、　平面向量与三角综合
例2、（2016无锡期末） 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．
【答案】、. (0，]　
【解析】、思路分析 本题题设虽然简单，但不易入手．实际上，本题隐含条件：|α|，|β|，|β－α|必能构成三角形，故引入α与β的夹角θ，根据正弦定理，用θ表示|α|，利用函数思想求解．
设α与β的夹角为θ，则0°