第25讲 三角函数的图像与性质-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第25讲：三角函数的图像与性质
一、 课程标准
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质
二、 基础知识回顾
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定
义
域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)


三、 自主热身、归纳总结
1、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
故函数的定义域为 ，选D。
2、在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A. ①②③　 B. ①③④　
C. ②④　 D. ①③
【答案】A
【解析】　①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cosx|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝.故选A.
3、函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A. －1　 B. －　 C. 　 D. 0
【答案】B
【解析】　由已知x∈，得2x－∈，∴sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.

4、下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
【答案】B　
【解析】函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
5、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝。
6、下列关于函数的说法正确的是　　
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
【答案】．
【解析】令，解得，，显然满足上述关系式，故正确；易知该函数的最小正周期为，故正确；
令，解得，，任取值不能得到，故错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误．
7、函数y＝cos的单调递减区间为___．
【答案】(k∈Z)_
【解析】　令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．

8、函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
【答案】5　＋2kπ(k∈Z)
【解析】函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

四、 例题选讲

考点一、三角函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为
(2)函数y＝＋lg(2sinx－1)的定义域为
．
【答案】（1）．（2）(k∈Z)

【解析】　(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图像，在同一坐标系中画出上y＝sinx和y＝cosx的图像，

如图所示．在内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域为.

(2)由题意得根据图像解得＋2kπ≤x＜＋2kπ，
即定义域为(k∈Z)．
变式1、 (1)函数y＝的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
【答案】（(1)(2)
【解析】　(1)要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义，则即
解得
所以2kπ0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
【答案】
【解析】由