第30讲 平面向量的基本定理与坐标运算-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第30讲：平面向量的基本定理与坐标运算
一、 课程标准
1.了解平面向量的基本定理及其意义．
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件
二、 .基础知识回顾
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[常用结论与微点提醒]
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

三、 自主热身、归纳总结
1、 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1＋e2和e1－e2
B. 3e1－4e2和6e1－8e2
C. e1＋2e2和2e1＋e2
D. e1和e1＋e2
【答案】B
【解析】　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.
2、已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为( )
A. －　 B. 　 C. 2　 D.
【答案】B
【解析】　∵a＝(2，－1)，b＝(1，1)，∴a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5，1)，
由(a＋kb)∥c，得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝.故选B.
3、已知A(1，－3)和B(8，－1)，如果点C(2a－1，a＋2)在直线AB上，则a＝____.
【答案】－13.
【解析】　∵＝(7，2)，＝(2a－9，a＋3)，且∥，∴有7×(a＋3)＝2×(2a－9)，解得a＝－13.
4、设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝( )
A. 4　 B. －4　 C. ±4　　 D. 0
【答案】C
【解析】　由题意知8a＋kb与ka＋2b为非零向量且共线，故存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)，则8＝λk，k＝2λ，得λ＝±2，k＝±4. 故选C.
5、 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为CO的中点，＋＝λ，则λ＝____.
【答案】
【解析】　∵ABCD为平行四边形，∴＋＝＝2，又＝，得＋＝已知＋＝λ，故λ＝.
6、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.

四、 例题选讲
考点一　平面向量基本定理的应用
例1、(2019·河北衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，则μ－λ＝(　　)
A.－ B.1 C. D.－3
【答案】A
【解析】 (1)＝λ－μ＝λ－μ(＋)
＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ.
因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，
即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－.
变式1、(1)如图(1)，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点. 若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝____.
图(1)
　图(2)
(2) 如图(2)，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为____.
【答案】（1）（2）
【解析】　 (1)由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.
(2)∵＝2，BO为AC边上的中点，∴G为△ABC的重心，∴＝×(＋)＝＋. ∵∥，∴设＝m，从而＝＋＝＋＋＝(1＋)＋.
∵＝＋λ，∴＝，λ＝1＋＝.
变式2、 (一题多解) (2020·泉州四校联考)如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)

A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　　法一　由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)，则＝(＋)，又＝，＝n，从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，又点M，P，N共线，所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ，
又因为，不共线，
所以有解得n＝，故选A.
法二　设＝λ，∵＝，＝n，
∴＝＋＝＋λ(－)
＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，
又知＝2，∴＝＝＋，
∴解得λ＝，n＝，故选A.
变式3、 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n>0)，则＋的最小值为__.

【答案】.
【解析】　＝－＝－＝(－)＋. 同理＝(－)＋，又∵M，O，N三点共线，故存在实数λ，使得(－)＋＝λ，即(－－)＋(－＋)＝0，因，不共线，据基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ得
m＋n＝2，故＋＝(m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋4)＝.
变式4、（2019·安徽安庆一中质检）如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，。

【解析】设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，
所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
方法总结：平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
考点二 、 二平面向量的坐标运算
例1、设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则＋等于(　　)
A.－2 B.2 C.－3 D.3
【答案】C
【解析】由题意得＝(1，2)，＝(－1，4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3.
变式2、(1)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C. D．(8，－1)
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

【答案】(1)B　(2)4
【解析】 (1)设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以解得所以P.
(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
变式3、（2019·吉林实验中学模拟）已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
【答案】B　
【解析】设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以解得所以P.
方法总结：求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
考点3　用坐标表示解决共线问题
例3　(1)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为____.
(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为____.
【答案】（1）(3，3)（2）－
【解析】　(1)(方法1)由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ). 又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，∴＝＝(3，3)，∴点P的坐标为(3，3).
(方法2)设点P(x，y)，则＝(x，y)，∵＝
(4，4)，且与共线，∴＝，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，∴(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，∴点P的坐标为(3，3).
(2)＝(a－1，3)，＝(－3，4)，根据题意∥，∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－.
变式1、（1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
【答案】(1)　(2)－
【解析】(1)因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝.
(2)＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
变式2、设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　)
A．－3　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
【答案】A
【解析】　由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1,1)，＝－＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得2m＋1＋2n＝1,2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
方法总结：1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

五、优化提升与真题演练

1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量，且，则（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，∵，∴，解得．
故选：C.
2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量，，．若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以,选C.
3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量，，与平行，则实数x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由已知，又，
，解得：，
故选：D.
4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知，，，，若，（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设，，，
则，
所以，解得，，
所以，
故选：C．

5、【2018年高考全国III卷理数】已知向量，，．若，则___________．
【答案】
【解析】由题可得，，，，即，故答案为.
6、【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.

设，
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则 ，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A．