第48讲 圆的方程-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第48讲 圆的方程一、课程标准1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想二、基础知识回顾1、  圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：半径：r＝2、 点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0 －b)2<r2⇔点在圆内．3、常用结论(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 三、自主热身、归纳总结1、 已知圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a的值为(　　)A. －  B. －  C.   D. 22、 点(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A. 点在圆外  B. 点在圆内C. 点在圆上  D. 不能确定 3、圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)A．－　　　　　　　　 B．－C.  D．24、点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1  B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 5、(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)A．x2＋2＝　　 B．x2＋2＝C．(x－)2＋y2＝  D．(x＋)2＋y2＝6、已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．四、例题选讲考点一 圆的方程例1、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________． 变式1、（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.      变式2、　(1) 已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为________________________________． (2) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________． (3) 若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为______________________． 方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.考点二　与圆有关的最值问题例2　若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.          变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．     变式2、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)的最大值和最小值分别为________和________；(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______．   方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．考点三　与圆有关的轨迹问题 例3　已知△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为____．  变式1、已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．(1)求直角顶点C的轨迹方程；(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．       变式2、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．     方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 五、优化提升与真题演练1、（2020年北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 72、（2020年全国2卷）.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）A.  B.  C.  D. 3、（2020年天津卷）知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 4、(2019镇江期末）已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________． 5、在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．6、(一题两空)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)直线l的方程为____________；(2)过点A，B且与C的准线相切的圆的方程为________． 7、．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．