第51讲 椭圆的方程-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第51讲 椭圆的方程一、课程标准1、了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．3、通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．4、了解椭圆的简单的应用.二、基础知识回顾1、 椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 三、自主热身、归纳总结1、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)A．5　　　　　　　　　 B．6C．9  D．102、适合b＝1，c＝，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是(     )　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. ＋y2＝1  B. ＋y2＝1C. ＋x2＝1  D. ＋x2＝13、 已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(      )A.   B. (1，2)C.   D. ∪ 4、 若点D(2，3)在椭圆M：＋＝1(m>0，n>0)上，且其中一个焦点是(－2，0)，则椭圆M的方程为 （    ）A. ＋＝1  B. ＋＝1C. ＋＝1  D. ＋＝15、(2020·安徽江南十校模拟)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1 四、例题选讲考点一  椭圆的定义及其应用例1　已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____． 变式1、(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（    ）A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线C．抛物线              D．圆(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.变式2、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．    变式3、曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的（    ）A．长轴长相等  B．短轴长相等C．离心率相等  D．焦距相等 方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等考点二　椭圆的标准方程例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．     变式1、求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 经过点P(－2，0)，Q(0，2)两点；(2) 与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－)．     变式2、（江西金溪一中2019届模拟）(1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（    ）A.＋y2＝1B.＋y2＝1C.＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不正确(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为（    ）A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1变式3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(－1)，求椭圆C的标准方程．   方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；②设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 五、优化提升与真题演练1、【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（    ）A．  B．C．  D． 2、 设点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆上一点，点M是F1P的中点，OM＝3，则点P到椭圆左焦点的距离为____． 3、 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝____． 4、点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为___．5、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________. 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．