第61讲 离散型随机变量的均值与方差-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第61讲：离散型随机变量的均值与方差
一、 课程标准
1、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
3、利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

二、 基础知识回顾
1. 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的概率分布为

X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝xi－E(x)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，D(X)越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2. 均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝．
4. 正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数μ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为____；
⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
5. 正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a