第26讲 Y=sin(wx+b)的图像与性质-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第26讲：Y=sin(wx+b)的图像与性质
一、 课程标准
1.了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

二、 基础知识回顾
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R




振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
_ωx＋φ_
_φ_
2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x





ωx＋φ
__0__

__π__

__2π__
y＝Asin(ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0
3. 函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：


4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
三、 自主热身、归纳总结
1. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则f的值为( )

第1题图
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. －　 B. －　 C. －　 D. －1
【答案】D
【解析】　由图像可得A＝，最小正周期T＝4×
＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1.故选D.
2. 将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是( )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
【答案】B
【解析】　∵P在f(x)的图像上，∴f(0)＝sinθ＝.∵θ∈，∴θ＝，∴f(x)＝sin.∴g(x)＝sin.∵g(0)＝，
∴sin＝.验证φ＝π时，sin＝sin＝sin＝成立．故选B.
3、(2019·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为。
4、（江苏宿迁开学调研）有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线的图象变为的图象的是　　
A．横坐标变为原来的，再向左平移
B．横坐标变为原来的，再向左平移
C．向左平移，再将横坐标变为原来的
D．向左平移，再将横坐标变为原来的．
【答案】．
【解析】．横坐标变为原来的，再向左平移，得，故不正确；
．横坐标变为原来的，再向左平移，得，故正确；
．向左平移，再将横坐标变为原来的，得，故正确；
．向左平移，再将横坐标变为原来的，得，故不正确．
5、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．
【答案】、. 4　
【解析】、由题意得函数f(x)的最小正周期T＝－＝，从而ω＝4.
6、(2018镇江期末） 函数y＝3sin的图像两相邻对称轴的距离为________．
【答案】、 　
【解析】、由题知函数最小正周期T＝＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.
7、（2020江苏镇江期中考试）设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______．

【答案】
【解析】由图象可得最小正周期：，即，，
又，，，，，又，，本题正确结果：．
8、（2020江苏扬州高邮上学期开学考试）在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移个单位长度．若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_________．
【答案】
【解析】函数的图像向右平移 个单位得，因为过坐标原点，所以

9、(一题两空)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

【答案】2　(k∈Z)
【解析】由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z.



四、 例题选讲
考点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及其变换
例1　已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像；
(3)说明y＝2sin的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到．
【解析】　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.

列表如下：
x
－




X
0

π

2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin(2x＋)
0
2
0
－2
0
描点画出图像，如图所示：

(3)(方法1)把y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像；再把y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图像．
(方法2)将y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图像；再将y＝sin2x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图像；再将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图像．
变式1、　(1)(2019·漳州八校联考)若函数f(x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
(2)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.
①求a的值及f(x)的最小正周期；
②画出f(x)在[0，π]上的图象．

【解析】(1)函数f(x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可．故选A.
(2)①f(x)＝4cos xsin＋a
＝4cos x·＋a
＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
②由①知f(x)＝2sin，列表：

x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1

画图如下：

变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调）将函数y＝2sin3x的图像向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图像，则f的值为________．
【答案】、 －　
【解析】、解法1 由题意可知：y＝f(x)＝2sin＝2sin，所以f＝2sin＝－2sin＝－.
解法2 根据图像平移前后的关系，f的值应和y＝2sin3x中x＝＋时y值相等，所以f＝2sin3＝－.
变式3、(2019常州期末） 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)是偶函数，点(1，0)是函数y＝f(x)图像的对称中心，则ω的最小值为________．
【答案】、 　
【解析】解法1 令ωx＋φ＝＋k1π，k1∈Z，得x＝.因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)是偶函数，则x＝＝0得φ＝＋k1π.因为点(1，0)是函数y＝f(x)图像的对称中心，所以f(1)＝0，即sin(ω＋φ)＝0，故ω＋φ＝k2π，k2∈Z，则ω＝k2π－φ＝k2π－＝－＋(k2－k1)π.又因为ω>0，所以当k2－k1＝1时，ω取最小值为.
解法2 函数f(x)是偶函数，所以图像关于x＝0对称．又(1，0)是函数f(x)的对称中心，所以＋T＝·＝1，得ω＝π，k∈Z.又ω>0，所以ωmin＝.
变式4、(2019苏北三市期末）将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数g(x)的图像，则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．
【答案】、 　
【解析】、平移后的函数g(x)＝sin.令f(x)＝g(x)，得sin2x＝sin.
解法1 2x－＝π－2x＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，(－，－)，.故所求面积为S＝×π×＝π.
解法2 sin2x＝sin＝sin2xcos－cos2x·sin＝sin2x－cos2x，即sin＝0，则有2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－＋(k∈Z)，相邻的三个交点为，，.
则所求面积S＝×π×＝π.
方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
考点二、求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2、(2018苏州暑假测试）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－0，0