第44讲 空间向量的概念-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第44讲 空间向量的概念和空间位置关系
一、 课程标准
1、空间向量的线性运算
2、共线、共面向量定理的应用
3、空间向量数量积的应用
4、利用空间向量证明平行或垂直
二、 基础知识回顾
1．空间向量及其有关概念
概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝


三、 自主热身、归纳总结
1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为(　　)
A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定
【答案】 C
【解析】 ＝(2，0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y (x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.
2、已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于( )
A. B. －2 C. 0 D. 或－2
【答案】B
【解析】　当m＝0时，a＝(1，3，－1)，b＝(2，0，0)，a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b，
∴＝＝，解得m＝－2. 故选B.
3、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 相交但不垂直
【答案】B
【解析】　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 故选B.

4、如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为________．

【答案】－a－b－c
【解析】＝＋＝－－＝－－(＋)＝－－－＝－a－b－c.

5、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
【答案】垂直
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1，1,0)，N(2，1,2)，所以＝(－2,0,1)，＝(1,0,2)，·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON.
6、O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
【答案】
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，
所以t＝.
四、 例题选讲
考点一 空间向量的线性运算
例1　(1) 向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c； ③a∥c，a⊥b.
(2) 已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是____________．
【答案】（1） ③ （2） (－1，0，2)
【解析】（1） 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
（2） ＝(－x，1，－y)，＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)．因为PA⊥平面ABC，所以⊥，⊥，即·＝x＋y－1＝0，·＝－2x－y＝0，所以x＝－1，y＝2，故点P的坐标是(－1，0，2)．

变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
（2）已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．1,1　　　　　　　 B．1，
C.， 1 D.，1
【答案】（1）A（2）C

【解析】（1）　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
（2）＝＋＝＋＝＋，故x＝，y＝.

变式2、 在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量，，表示，.
【解析】 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[(＋)－]
＝－＋＋.
＝＋＝－＋＋
＝＋＋.

变式3、如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点．试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；
(2)；
(3)＋.
解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝a＋c，
∴＋＝＋＝a＋b＋c.
方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考点二 共线、共面向量定理的应用
例2　如图所示，已知斜三棱柱ABC －A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k (0≤k≤1). 判断向量是否与向量，共面．


【解析】　∵＝k，＝k，∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－
k(＋)＝(1－k) －k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．


变式1、如图所示，已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面．

【解析】∵＝k，＝k，
∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
变式2、（1）已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)
A．2， B．－，
C．－3,2 D.2,2
（2）．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
【答案】（1） A （2）－3
【解析】（1）　∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)，
即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴解得或故选A.
（2）∵＝(3，－1,1)，＝(m＋1，n－2，－2)，
且A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ.
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得
∴m＋n＝－3.
方法总结：证明空间三点P，A，B共线的方法有：①＝λ (λ∈R)；
②对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1). 证明空间四点P，M，A，B共面的方法有：①＝x＋y；②对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；③∥ (或∥或∥). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．


考点三 空间向量数量积的应用
例3、如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD.

【解析】(1)设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，
∴||＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝.
∴线段AC1的长为 .
(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝.
∵＝a＋b＋c，＝b－c，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
||＝＝
＝＝.
∴cos θ＝＝＝.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明：∵＝c，＝b－a，
∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即AA1⊥BD.
变式1、已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．

【解析】　(1)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
(2)(方法1)∵ka＋b＝(k－1，k，2). ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－，
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.
(方法2)由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. ∴当ka＋b与ka－2b
互相垂直时，实数k的值为2或－.
变式2、如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
求：(1)的长；
(2)与夹角的余弦值．

【解析】(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
即与夹角的余弦值为.
方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想

考点四 利用空间向量证明平行或垂直
例4　如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．求证：
(1) BM∥平面D1AC；
(2) D1O⊥平面AB1C.


【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D1(0，0，)，
所以＝(－1，－1，)．
又点B(2，2，0)，M(1，1，)，
所以＝(－1，－1，)，
所以＝.
又因为OD1与BM不共线，
所以OD1∥BM.
又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，
所以BM∥平面D1AC.
(2) 连结OB1，点B1(2，2，)，A(2，0，0)，C(0，2，0)．
因为·＝(－1，－1，)·(1，1，)＝0，
·＝(－1，－1，)·(－2，2，0)＝0，
所以⊥，⊥，
即OD1⊥OB1，OD1⊥AC.
又OB1∩AC＝O，OB1，AC⊂平面AB1C，
所以D1O⊥平面AB1C.


变式1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) 平面PAB⊥平面PDC.


【证明】 (1) 如图，取AD的中点O，连结OP，OF.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.
又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA＝PD＝AD，
所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A，F，D，P，B，C.
因为E为PC的中点，所以E.
易知平面PAD的一个法向量为＝.
因为＝，
且·＝·＝0，
所以EF∥平面PAD.

(2) 因为＝，＝(0，－a，0)，
所以·＝·(0，－a，0)＝0，
所以⊥，所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，
所以PA⊥平面PDC.
又PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PDC.


变式2、如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．
求证：(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC.

【证明】(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.

因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.
又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A，F，D，
P，B，C.
因为E为PC的中点，所以E.
易知平面PAD的一个法向量为＝，
因为＝，
且·＝·＝0，
又因为EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)因为＝，＝(0，－a,0)，
所以·＝·(0，－a,0)＝0，
所以⊥，所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．

五、优化提升与真题演练
1、已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B　
【解析】当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n(m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
2、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.∥
【答案】ABC　
【解析】对于A，·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选A、B、C.
3、(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝3()2
B.·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|··|
【答案】AB　
【解析】由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴()2＝3()2，所以A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|··|＝0，因此D不正确．故选A、B.

4、如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.





【解析】　(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴||＝
＝.

第3题图
(2)由题意得A1(1，0，2)，
B(0，1，0)，C(0，0，0)，
B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝
＝.
(3)由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.
5、【2020年北京卷】如图，在正方体中，E为的中点．


（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】Ⅰ）如下图所示：

在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.