第54讲 抛物线-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第54讲 抛 物 线
一、 课程标准
1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

二、 基础知识回顾
1、、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2 、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
　x＝－　
　x＝　
　y＝－　
　y＝　
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
＝
　x0＋　
＝
　－x0＋　
＝
　y0＋　
＝
　－y0＋　
3 、 与焦点弦有关的常用结论

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
三、 自主热身、归纳总结
1、抛物线y2＝4x的准线方程为(　　)
A. x＝1 B. x＝－1 C. y＝1 D. y＝－1
【答案】 B
【解析】 由题意得抛物线的焦点在x轴上，且2p＝4，即p＝2，所以抛物线的准线方程为直线x＝－＝－1.
2、 设抛物线y2＝8x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】 B
【解析】 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足为A，延长PA交直线l于点B，则AB＝2.因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线l的距离PB＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离PF＝PB＝6.故选B.


3、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．8
C．7 D．6
【答案】B　
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
4、拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是(　　)
A. B.或
C. D.或
【答案】C　
【解析】抛物线的方程化成标准形式为x2＝y(a≠0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为.故选C.
5、已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程为________．
【答案】y2＝±4 x
【解析】：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2 ，所以抛物线方程为y2＝±4 x.
6、设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【答案】[－1,1]
【解析】：Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k0)．∵点P(2，1)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由题意知kAP＋kBP＝0，∴＋＝0，
∴＋＝0，∴＋＝0，
∴x1＋x2＝－4，∴kAB＝＝＝＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.


变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t0)上．
(1)求p，t的值；
(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上，若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．

【解析】　(1)将点A(8，－4)代入y2＝2px，得p＝1.将点P(2，t)代入y2＝2x，得t＝±2.∵t0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C．
2、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
3、（2020年高考北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）
A． 经过点 B． 经过点
C． 平行于直线 D． 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：
．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B．
4、（2019·全国高考）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
5、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D　
【解析】由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)．联立消去y并整理，得x2－5x＋4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以＝(3,4)，＝(0,2)．所以·＝3×0＋2×4＝8.故选D.
6、（2017·全国高考）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，

设，因为，所以，
所以，解得：，设，由焦半径公式得：，
所以，，
所以，
所以点到直线的距离为.
7、(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
【答案】2
【解析】解法一：由题意可知C的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k的直线方程为x＝＋1，
设A，B，
将直线方程与抛物线方程联立得
整理得y2－y－4＝0，
从而得y1＋y2＝，y1·y2＝－4.
∵M(－1,1)，∠AMB＝90°，
∴·＝0，
即·＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即k2－4k＋4＝0，解得k＝2.

解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
②－①得y－y＝4(x2－x1)，
从而k＝＝.
设AB的中点为M′，如图，连接MM′.
∵直线AB过抛物线y2＝4x的焦点，
∴以线段AB为直径的⊙M′与准线l：x＝－1相切．
∵M(－1,1)，∠AMB＝90°，
∴点M在准线l：x＝－1上，同时在⊙M′上，
∴准线l是⊙M′的切线，切点为M，且M′M⊥l，
即MM′与x轴平行，
∴点M′的纵坐标为1，
即＝1⇒y1＋y2＝2，
故k＝＝＝2.
8、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标为，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点是，
根据抛物线的定义可知
，，
当三点共线时，等号成立，
的最小值是，
，
的最小值是.

故答案为：
9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______，的最小值为______．
【答案】
【解析】∵ 抛物线的焦点为F(4，0)，
∴ ，
∴ 抛物线的方程为，
设直线的方程为，设，，

由得，
∴，，
由抛物线的定义得
，
∴，
当且仅当即时，等号成立，
故答案为：．