2021届全国百强名校“领军考试”高三上学期12月联考 理科数学试题（Word版，含解析）

2020—2021学年上学期全国百强名校

“领军考试”高三数学（理数）

2020．12

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置．

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0．5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上．

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．下列命题的否定为假命题的是

A．，

B．正切函数的定义域为

C．函数的单调递减区间为

D．矩形的对角线相等且互相平分

4．函数的图像大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．某工厂生产了根钢管，其钢管内径（单位：）服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管内径在到之间的钢管根数约为（    ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右半支上，点，当的值最小值时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”，如图所示，，，，则其中“阳马”与三棱锥的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．某中学高二年级在期中考试之后为了了解学生学习物理的情况，抽取了名成绩在分（满分为分）之间的学生进行调查，将这名学生的成绩分成了六段：，，，，，，绘成频率分布直方图，如图所示．从成绩在的学生中任抽取人，则成绩在间的学生恰好有一人的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知等差数列的前项和为，，（，且），则的值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数为定义在上且图像连续的偶函数，满足（或在恒成立．若把函数向右平移个单位可得函数，则方程的所有根之和为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知命题，命题，若为真命题，则实数的取值范围是___________．

14．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是___________．

15．已知等差数列的前项和为，，，则的最小值为___________．

16．已知点为抛物线焦点，椭圆与抛物线的准线交于，两点，且为等边三角形，则抛物线的方程为___________．

三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知等比数列的前项和为，公比，，．若数列的前项和为，，求数列的前项和．

18．已知函数，且函数有两个零点，求实数的取值范围．

19．从年月起，我国各地爆发了以武汉为中心的新型冠状病毒肺炎疫情，湖北某市疫情监控机构统计了月日到日每天新增病例的情况，统计数据如下表：

其中月日这一天的人中有男性人，女性人．

（1）工作人员为了检测疫情的需要，对月日这一天的人按性别分层抽取人，再从这人中抽取人了解病毒传染情况，求抽取的这人中至少有名女生的概率；

（2）月、日这两天的人中，最多经过三个阶段的治疗都痊愈出院了，其中病症轻微的无需治疗仅凭自身免疫能力就能痊愈．医院从这人中随机抽取了人做调研，并整理了这人各自经历的治疗次数，数据如下表：

以这人治疗次数对应的人数出现的频率值代替人治疗次数所发生的概率．记表示抽取的两人共需治疗的次数，求治疗次数的数学期望．

20．如图所示，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，（为大于零的常数），为等腰直角三角形，，为的中点，，

（1）求的长，使得；

（2）在（1）的条件下，求二面角的大小．

21．已知、分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，满足轴，，且椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线交椭圆于，两点，（其中为坐标原点），与直线平行且与椭圆相切的两条直线分别为、，若与两直线间的距离，求直线的方程．

22．已知函数

（1）若，函数，且函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（2）若，此时函数区间上的最小值为，求实数的值．

2020—2021学年上学期全国百强名校

“领军考试”高三数学（理数）答案与解析

1．【答案】

【命题意图】本题考查分段函数的求值问题．

【解析】，．

2．【答案】B

【命题意图】本题考查集合运算、对数函数的性质及对数不等式的解法结合不等式考查集合运算历来就是高考查收集合的热点，故在此我们设置了通过对数函数的性质解对数不等式与集合的交集运算．

【解析】，

3．【答案】D

【命题意图】本题考查命题真假的判断．从历年高考考查简易逻辑题型来看，命题真假的判断居多，多以全称命题、特称命题、及其通过逻辑联结词联结而成的新命题呈现，真假命题判断的备考应主要从这几个角度出发进行准备．

【解析】对于A，因为．所以恒成立故A假；对于B，正切函数的定义域为，所以B假；对于C，函数的单调递减区间为、，所以C假；D显然正确，综上应选D．

4．【答案】B

【命题意图】本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性根据奇偶性的定义，利用排除法进行求解，即可得到答案．本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性的图像特征，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

【解析】函数的定义域为，故排除A；函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除D；当时，恒成立，当时，恒成立，故排除C．

5．【答案】C

【命题意图】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．

【解析】，，故这批钢管内径在到之间的钢管数约为根．

6．【答案】D

【命题意图】本题考查双曲线定义、数形结合思想的应用解答这一类型问题应把握好以下两点：（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求，抛物线上的点到焦点的离与准线的距离相等的转化；（2）注意数形结合，画出合理草图．

【解析】由题意并结合双曲线的定义可得

，当且仅当，，三点共线时等号成立．而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为．

7．【答案】A

【命题意图】本题属于数学文化题，主要考查阅读能力，考查棱锥与棱台的性质以及棱台的体积公式，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

【解析】设，由“阳马”定义知：“阳马”的体积．而“堑堵”的体积，故三棱锥的体积，于是“阳马”与三棱锥的体积之比，即．

8．【答案】B

【命题意图】本题考查数形结合思想解决函数零点问题。涉及到函数与方程相关知识点，二次数函、反比例函数的图像与性质．数形结合思想是高考要重点考查的数学思想，而函数与方程问题是最容易融入数形结合思想进行考查的知识内容之一，特别是探究零点问题，解答这类问题往往是把函数与方程相结合，由方程分解出函数，然后利用函数图像解决问题．

【解析】当时．，于是函数的图像如图所示，

从图像中可以看出，要使函数与的图像有三个交点，则须．

9．【答案】B

【命题意图】本题考查分层抽样，频率分布直方图及其古典概型．统计是一门在实际生活中应用最为广泛的学科之一，在高考中非常容易与实际问题相结合阐述应用类问题特别是把统计的其它知识、古典概型与频率分布直方图相交汇的题型更应值得我们重视．

【解析】从频率分布直方图中可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为人．记成绩在的人为，，成绩在的人为，，，则所有基本事件有：，，，，，，，，，共个．其中成绩在间的学生恰好有一人的事件有：，，，，，，共个．

所以成绩在间的学生恰好有一人的的概率为．

10．【答案】A

【命题意图】本题考查等差数列的性质及运用数列的性质及其运用，这是高考客观题考查数列问题的热点．等差、等比数列的性质众多，熟记这些性质是做好这类题型的前提．

【解析】，

而

，

可得，即，解得．

11．【答案】C

【命题意图】本小题主要考查对函数解析式的分析推理，考查利用函数的单调性解不等式，属于高档题．

【解析】函数，

，

，．而，

即，．又通过函数的图像可知其在上单调递增，在上单调递增，，即．

12．【答案】B

【命题意图】本题考查利用导数确定函数单调性、利用数形结合思想探究函数零点问题导数客观题的考查主要是以导数的几何意义、单调性、极值、最值为知识背景，应当注意的是用导数解决函数问题一定要先确定函数的定义域，否则结论很可能是错误的这是在导数问题时上最容易出错的地方．

【解析】函数为定义在上且图像是连续的偶函数，函数的图像关于轴对称，又满足（或）在恒成立，函数在，上都单调．由题意知的图像关于轴对称，在，上都单调．若，

则有或，

当时，变形可得，有个根，

且两根之和为；

当时，变形可得，有个根，且两根之积为，

则满足方程的所有根之和．

13．【答案】

【命题意图】本题考查运用命题的真假，构建不等式求解参数的取值范围．

【解析】由已知和都是真命题，

14．【答案】相离

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．直线与圆的位置关系问题常用到的知识点是点到直线的距离公式，点到直线的距离公式的运用又可以帮助我们建立方程求值，该题就是这样一个解答思路．

【解析】将圆的方程化为标准方程得，

圆心坐标为，半径．

又圆心到直线的距离，故圆与直线的位置关系是相离．

15．【答案】

【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列性质的应用．熟记等差数列性质，熟练运算是关键，是中档题．

【解析】设等差数列的公差为，则，

，．

令，即，

解得，，，

即数列的前项均为负值，

最小．

数列的首项是，公差为，

，

数列的前项和的最小值为．

16．【答案】

【命题意图】本题考查对抛物线方程的认识、理解及运算由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．

【解析】抛物线的准线代入椭圆得，

所以，即，

所以．

由于为等边三角形，所以，且，即，，

由于，所以，故抛物线的方程为．

17．【命题意图】本题考查等差数列求通项公式，裂项求和．高考主观题考查数列问题一般规律是：第二问考查数列求和．而数列求和往往考查两种形式：裂项求和与错位相减求和．该题的求和就是裂项求和．

【解析】解：，，

，或，

，，

．

又，

又

，

即，

．

18．【命题意图】本题主要考查函数性质与数形结合思想的应用，函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键属于中档题．

【解析】解：

而为上的增函数，于是为上的减函数，

故，为上的增函数．

（也可以用函数单调性的定义证明为上的增函数）

令函数，得，

由于函数为上的奇函数，

又为上的增函数，，

设，则方程可转换为

在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象，如图所示．

则当时，两函数图象有两个交点，即，于是时，

函数有两个零点，

实数的取值范围是．

19．【命题意图】本题考查分层抽样，古典概型，离散型随机变量的数学期望．高考对理科概率主观题的考查，知识点一般集中于相互独立事件概率，二项分布，正态分布，离散型随机变量的数学期望，有时也会交汇统计知识，特别要注意线性回归知识的融入交汇．

【解析】解：（1）由题意知月日这一天新增的人中有男性人，女性人，按性别分层抽取名，则男性被抽取的人数为人，女性被抽取的人数为人，

记名男性分别为，，，名女性为，，则从这人中抽取人的情况有，，，，，，，，，，一共种情况，人中至少有名女性的情况共有种，故所求概率为．

（2）所有可能的取值为，，，，，，，

，

同理：

，

，

20．【命题意图】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及空间几何体中求解二面角解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

考查二面角的余弦值的求法以及运算求解能力，数形结合思想的应用，是中档题．

【解析】解：平面平面，为等腰直角三角形，，

为的中点，

，又，，

，

令、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、、、

（1），，

，

，即，

，于是，

四边形为矩形，

故．

（2）设点为中点，连结，

平面，

，

而为等腰直角三角形，，平面，

为平面的一个法向量，而．

设为平面的一个法向量，而，，

又，

，即，

令，则，，

设二面角的平面角为，则

二面角的平面角为

21．【命题意图】本题考查椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用—求解直线方程。主观题中考查圆锥曲线题型主要是直线与圆锥曲线位置关系问题，这是一般规律．其特点是运算量大，且逻辑思维要求高，但并不是没有规律可循，解题的入手点应当是把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去（或），获取（或）的一元二次方程，然后通过韦达定理建立方程求值．

【解析】解：（1）由题意可得，即，而由椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为

可得，即，

，

解得，，

椭圆的方程．

（2）由点可设直线，且，，

联立直线和椭圆方程组，得，

整理得：，

则，

又

于是有，

解得，

所以点．

设直线、的方程分别为、，与椭圆联立

可得，

于是，

解得，

而直线、间的距离为，

解得，

故直线的方程为

22．【命题意图】本题考查利用导数确定函数单调性、及其函数单调性结合导数求解参数的取值范围．导数综合题一般来说是高考试题中的压轴题，也就是说是最难的一个题．但是，该题一般会设置2-3问，且前两问难度都不会太大应试时不可放弃，且前两问基本上考查的是常规问题，即导数几何意义、单调性、极值或最值．

【解析】解：（1）当，函数，

，

函数在区间上单调递减，

在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，只需不大于在上的最小值即可．

而

则当时，有最大值，且最大值为，

，，即，

故实数的取值范围是．

（2）若，则函数，于是，

而在区间上单调递增，在区间上单调递减，

故在区间上单调递增．

又函数区间上的最小值为，说明存在唯一的，

使得，

即（*），

当时，，此时单调递减：

当时，，此时单调递增，

，

由（*）式得，

，显然是方程的解，

又函数是区间上的减函数，

方程有且仅有唯一的解，

把代入（*）式得，

，所求实数的值为．