2019-2020学年西藏拉萨市第二高级中学高二上学期期中考试 数学试题（Word版，含解析）
展开2019-2020学年西藏拉萨市第二高级中学高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由平面向量数量积运算可得，即，得解.
【详解】解：在中，，则，
即，则为钝角，所以为钝角三角形，
故选：C.
【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.
2．已知向量，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据向量共线求解出参数的值，然后根据向量对应的坐标运算求解出的坐标表示.
【详解】因为，所以，所以，所以，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值以及坐标形式下向量的减法运算，难度较易.已知，若，则有.
3．已知，则cosθ等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将改写成，然后根据，展开计算即可求解出对应结果.
【详解】因为，
又因为，所以，所以，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换的给值求值问题，解答此类问题的关键是对角进行配凑，难度一般.常见的角的关系：、、等.
4．满足的一组α､β的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将等式变形得到的结果，从而得到的结果，由此确定出的一组解.
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以满足要求，
故选：A.
【点睛】本题考查两角差的余弦公式的简单运用，难度较易.注意公式：.
5．已知为第二象限角，，则的值等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，则sin＝×－×＝，故选A.
6．已知向量则的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法运算，求解出的坐标表示，再根据模长的计算公式求解出的模的取值范围.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：D.
7．在中，一定成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题考查正弦定理.
在中，由正弦定理得故选C
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理得到，再根据的计算公式代入相关量即可求解出的值.
【详解】因为，由正弦定理可知，设，
所以，
故选：D.
【点睛】本题考查正、余弦定理的综合应用，涉及利用正弦定理进行边角转化以及余弦定理解三角形，难度一般.
9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
【答案】D
【详解】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，矛盾，所以是钝角三角形，故选D.
10．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】数列1，3，6，10，15，…第二项开始，相邻两项依次以递增，得解
【详解】数列1，3，6，10，15，…
每相邻两项依次以等差数列递增，即
所以
故选：B
【点睛】本题考查利用数列的前几项求求递推公式.
典型的递推数列及处理方法有叠加法、叠乘法、化为等比数列、化为等差数列进行.
11．已知等差数列的通项公式为 ， 则它的公差为 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由可得，所以公差．故C正确．
【解析】等差数列的定义．
12．下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义判断即可.
【详解】①是以4为首项，以1为公差的等差数列；②后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；③是常数列，所以是等差数列；④是以为首项，以为公差的等差数列.
故答案为C.
【点睛】本题考查等差数列的判断，属于基础题.
二、填空题
13．设向量.若，则实数_____.
【答案】
【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为，再将，分别用坐标表示出来，最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求参数，难度较易.已知，若，则有..
14．化简：_____.
【答案】
【分析】根据两角差的余弦公式进行化简，然后可求得结果.
【详解】因为，
所以原式，
故答案为：.
【点睛】本题考查逆用两角差的余弦公式进行求值，难度容易.注意公式：.
15．在△ABC中，，则A=_____.
【答案】
【分析】利用正弦定理完成角化边可得到的关系式，再根据已知条件可得之间的倍数关系，写出的表达式并代入倍数关系可求解出，从而可求.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查解三角形的简单运用，涉及正弦定理进行角化边、余弦定理解三角形，主要考查学生对正、余弦定理公式的熟练运用，难度较易.
16．已知中，，则＝________．
【答案】
【解析】 ,.
三、解答题
17．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
（1）；
（2）
【答案】（1）无解；（2），，或，，.
【分析】（1）先用正弦定理进行判断，得到，判断为无解；
（2）先用正弦定理进行判断，得到有两个值，分别求解出对应的结果即可.
【详解】（1）因为，所以，此时无解；
（2）因为，所以，所以或，
当时，，所以为直角三角形，所以，
当时，，所以，
综上：，，或，，.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，其中涉及三角形是否有解的判断，难度一般.判断三角形是否有解可以通过计算的方法判断，还可以通过图示的方法进行判断.
18．等差数列中，已知，求n的值.
【答案】
【分析】根据条件先求解出的通项公式，然后根据即可求解出的值.
【详解】因为，设等差数列的公差为，所以，所以，
所以，又因为，所以，所以.
【点睛】本题考查等差数列通项公式中基本量的计算以及根据项的值求解对应项的序号，主要考查等差数列的基本计算，难度较易.
19．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】要证原式，等价证明，证明左、右两边分别等于即可.
【详解】证明：要证原式，可以证明.
左边
，
右边，
左边右边，
原式得证.
【点睛】本题考查利用倍角公式和同角三角函数的基本关系证明恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝ .
（1）若b＝4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【详解】（1）∵，cosB＝，所以，
由正弦定理得得．
（2）∵，∴．∴
由余弦定理得，
∴.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.
21．已知函数
（1）化简；
（2）若是第一象限角，求
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式即可化简.
（2）根据以及角的范围可以求出，再求
即可.
【详解】（1）
，
（2）由题意可知，因为是第一象限角，
则 ,
则，
所以，
则
【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式、考查了三角函数给值求值，属于中档题.
22．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2.
（1）求角A的大小；
（2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
【答案】（1）；（2）选择①②，＋1；选择①③，；选择②③，无法确定△ABC.
【分析】（1）化简sin A＋cos A＝2得2sin ＝2，即可求出角A的大小；
（2）选择①②，先由正弦定理求出，再由sin C＝sin (A＋B)得sin C，即可根据三角形面积公式求出；选择①③，由正弦定理可求出，继而求出即可求出面积；选择②③，无法确定△ABC.
【详解】（1）依题意得2sin ＝2，即sin ＝1，
∵0<A<π，∴<<，∴A＋＝，∴A＝.
（2）选择①②.由正弦定理 ，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，
∴S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝＋1.
选择①③， c＝b，由正弦定理得，即，
可得sin A cos B＋cos A sin B，
A＝，得，解得，，
.
选择②③，sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，
由 c＝b结合正弦定理得，矛盾，
所以此种方案无法确定△ABC.
【点睛】本题考查辅助角公式化简，考查正弦定理，考查三角形面积公式，属于基础题.
