江西省宜春市奉新县第一中学2021届高三上学期第五次月考 文科数学试题（Word版，含答案）

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第五次月考（文）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合，集合，则（   ）

A．      B．     C．      D．

2.欧拉公式 (e是自然对数的底数,i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一,根据欧拉公式可知，＝（   ）

A.       B.       C.    D.

3.已知实数，，满足，且，则下列不等式中正确的是（   ）

A.        B.         C.        D.

4．若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（   ）

A．2 B． C．4 D．

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为（   ）

A.          B.        C.        D.

6. 设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间（   ）

A.(－1，0)     B.(0，1)       C.(1，2)         D.(2，3)

7. 已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是（   ）

A.[1，＋∞)   B.(－∞，1]           C.[－1，＋∞)       D.(－∞，－3]

8．向量，b＝（cos α，1），且a∥b，则＝（   ）

A．　　　　　　　B．－　　　　　　C．－　　　　　　D．－

9. 已知等差数列{an}，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为（   ）

A.8   B.12         C.6          D.不能确定

10.已知光线从点A射出，经过线段BC(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则 （   ）

A.        B.    

C.       D.

11.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若

定义，则函数，在区间内的图象是（   ）

A．B．C．D．

12．设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知，则＝               .

14.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________.

15．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是大于0的有理数，若，且是正整数，则______.

16.关于函数f(x)＝2(sinx－cos x)cos x有以下四个结论：

①函数f(x)的最大值为；

②把函数h(x)＝sin2x－1的图象向右平移个单位可得到函数f(x)的图象；

③函数f(x)在区间上单调递增；

④函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．其中正确的结论是___________.  

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

记为等比数列的前项积，已知.

（1）求的通项公式；

（2）求的最大值.

18.（本小题满分12分）

在中，角的对边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若的面积为，且，求的周长.

19．（本小题满分12分）

如图，在以、、、、为顶点的五面体中，平面，，，.的面积且为锐角.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

20.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求的单调减区间，并证明为中心对称图形；

（2）当时，图象的最低点坐标为，正实数，满足，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.

22.（本小题满分12分）

已知f(x)＝ax2 (a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间上有两个不等的解，求a的取值范围.

【参考答案】

一、选择题：

1-12. CDBBB   CABDD  AA

二、填空题

13．；      14.  1＋；     15．；     16．  ③④

三、解答题：

17.

18、解：（1），

∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，

∴在△ABC中，sinA＝＝．

（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，

又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，

∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，

，所以周长为.

19、（1）证明：由，

解得，又为锐角，所以.

在中，由余弦定理可得，

，即.

所以为等腰三角形，且，故，即.

平面，平面，而平面，

，又，，平面，平面，

平面.

（2）由，利用等体积法，可得，

因为平面，，，

所以，故三棱锥的体积为.

20.解：（1）当时，，

的单调减区间为（－4，2），

又

关于点（－1，0）对称。

（2）当时，，

时，单调递减；时，单调递增；时，单调递增.画出函数的图象，如下图所示，

图象最低点的坐标为，，故，即，

所以，

当且仅当时，取等号，此时，

故的取值范围为.

21.解：(1)离心率e＝，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，

整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①

Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②且x1＋x2＝，

由N(3，1)是线段AB的中点，得＝3.

解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.

(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.

当时方程①即，

，解得.

椭圆方程为.

22. 解：(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，

∴F′(x)＝2ax－＝ (x>0).                       

①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.

由ax2－1<0，得0<x<.

故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.

②当a≤0时，F′(x)<0 (x>0)恒成立.

故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.   

(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解.

由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，

则φ(x)max＝φ()＝，而φ(e)＝<＝＝φ().

所以φ(x)min＝φ(e)，

如图可知φ(x)＝a有两个不等解时，需≤a＜.

即f(x)＝g(x).在[，e]上有两个不等解时a的取值范围为≤a＜.