河南省新乡市第一中学2021届高三一轮复习模拟考试（一）（含答案）

www.ks5u.com河南省新乡市第一中学2021届高三一轮复习模拟考试（一）（理）试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，故．2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故．3．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即，所以．4．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】执行程序框图，；；；，此时退出循环，故输出的的值是．5．年月日，第六届世界互联网大会发布项“世界互联网领先科技成果”，有项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端芯片“思元”赛灵思“自适应计算加速平台”．若从这项“世界互联网领先科技成果”中任选项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，这项“世界互联网领先科技成果”中有项成果属于芯片领域．记“从这项‘世界互联网领先科技成果’中任选项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件，则为“选出的项都不属于‘芯片领域’”，因为，所以．6．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题可得，且其定义域为，，所以函数为偶函数，故排除C，D选项；又当时，，，所以，故排除A选项，综上，选B．7．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，均是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的定义知，则的周长为，所以，所以椭圆的方程为．不妨设点在第一象限，则由，均是线段的三等分点，得是线段的中点，又，所以点的横坐标为，由，得，所以，所以，．把点的坐标代入椭圆方程得，即，化简得，又，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为．8．甲、乙两家企业年至月份的月收入情况如图所示，下列说法中不正确的是（    ）A．甲企业的月收入比乙企业的收入高B．甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份C．甲、乙两家企业月收入差距的平均值为万元D．月份与月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低【答案】C【解析】A项，由图可知，甲企业的月收入比乙企业的月收入高，所以该选项正确；B项，由图可知，甲、乙两家企业的月收入差距如下表所示：则甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份，为万元，故该选项正确；C项，由上表可知，甲、乙两家企业月收入差距的平均值为（万元），故该选项不正确；D项，月份与月份相比，甲企业与乙企业的月收入都增加了万元，但甲企业月份的收入为万元，乙企业月份的收入为万元，所以甲企业月收入的增长率比乙企业月收入的增长率低，故该选项正确．9．若满足约束条件，的最大值为，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．可化为，作出直线，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点时，取得最大值，把代入，得．10．已知，则下列不等式中不正确的是（    ）A．   B．C．  D．【答案】C【解析】选项A，因为，所以由不等式的性质可得，，所以，故该选项正确；选项B，因为，函数在上单调递增，所以，所以，故该选项正确；选项C，因为，函数在上单调递减，所以，易知，所以，故该选项不正确；选项D，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，且，所以，且，由不等式的性质可得，故该选项正确．11．已知直三棱柱的底面为正三角形，，是侧面的中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线截球的弦长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为球与直三棱柱的所有面均相切且直三棱柱的底面为正三角形，所以球心为该直三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点．设底面三角形的重心为，是的中点，连接，，，，则底面，因为是侧面的中心，所以四边形为正方形．设球的半径为，则结合，可得，连接，易得，，所以，故所求弦长为．12．已知函数的图象经过点，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（    ）A．    B． C．   D．【答案】B【解析】由已知得，即，解得，故，所以，易知函数的零点个数，即的图象与直线的交点个数，所以设，则．记，显然为该函数的一个零点，即，又恒成立，故函数在上单调递增，所以函数在上只有一个零点．当时，，即，所以函数单调递减；当时，，即，所以函数单调递增，所以的最小值为．如图，作出函数的图象以及直线，因为函数的图象与直线有四个不同的交点，所以数形结合可知，解得．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式的展开式中的常数项为，则       ．【答案】【解析】二项展开式的通项公式为，令，解得，故，所以，故，又，所以．14．如图所示的扇形的半径为，，是圆弧上一点，且满足，与交于点，则        ．【答案】【解析】由，，得，所以，，，因为，，所以，所以，，，所以．15．双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支与点，，则双曲线的离心率是       ．【答案】【解析】如图，设，由，得，又，所以，所以，根据，得，所以，又，所以，，所以，，在直角三角形中，，则，所以．16．在数列中，，，且当时，，若是数列的前项和，，则当为整数时，      ．【答案】【解析】当时，由，得，又，所以数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，则，，所以．当时，，，不符合题意，因为时，，所以当时，，则，因为是整数，所以是的因数，所以为，，或，易知当且仅当时，是整数，此时，．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知的三个内角，，对应的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值．【解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，易知，∴，又，∴．（2）由（1）与，得，在中，由余弦定理，得，又在中，，∴，所以的最大值为．18．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解】（1）易知四边形为直角梯形，则由，，得，又，，所以，即，又平面平面，平面，所以平面，所以，又，，所以平面．（2）由（1）知平面，所以平面，又，故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，故，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，令，则，，故；由，得，令，则，，故，于是，易知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值等于．19．（12分）已知点，抛物线上存在一点，且直线的斜率最大，最大值为．（1）求点的坐标及的值；（2）若直线交抛物线于点，，且直线与都是圆的切线，求直线的方程．【解】（1）设点，则，易知，，当且仅当，即时，直线的斜率最大，最大为，所以，，所以，，所以．（2）由（1）知抛物线方程为，可化为，故圆的圆心坐标为，，设过点的圆的切线方程为，即，则，得，所以，不妨设的方程为，代入，消去，得．设，则，，同理，设，则，所以，，所以直线的的斜率，所以直线的方程为，即，即，故直线的方程为．20．（12分）已知函数有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解】（1）因为，所以，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，要使函数有两个不同的零点，必须满足，所以．若，注意到，所以函数在上有且只有一个零点；，令，，则，所以在上单调递增，所以，从而，所以函数在上有且只有一个零点，综上所述，实数的取值范围为．（2）由（1）知，不妨设，令，则，所以在上单调递减．由于，所以，即，所以．注意到，所以，又，，在上单调递减，所以，所以．21．（12分）年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻月日至日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为千克，第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条年产量为万件的产品生产线，该种产品以第三代杂交水稻为原料，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，等级划分如下表：为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如图所示的频率分布直方图，将频率视为概率．（1）若从指标值不低于的产品中利用分层抽样的方法抽取件，然后从这件产品中任取件进行进一步分析，求这件产品中指标值的件数的分布列及数学期望；（2）从试生产的所有产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的件产品中至少有件是合格及以上等级”为事件，求事件发生的概率．（3）若每件产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：试估计的值，使得该企业该生产线的年盈利最大，并求出最大年盈利．（参考数据：，，）【解】（1）由频率分布直方图可知，这件产品中，的频率为；的频率为；的频率为，故利用分层抽样的方法抽取件产品，的有件，的有件，的有件．易知的所有可能取值为，，，，，，所以的分布列为．（2）设“从试生产的所有产品中随机抽取一件，恰为合格及以上等级”的概率为，则根据频率分布直方图可得，则．（3）由题意可得每件产品的质量指标值、利润（元）与概率的关系如下表所示（）：故每件产品的平均利润，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为，所以生产该种产品能够实现盈利，且当时，每件产品的平均利润取得最大值，为元，又该企业该生产线的年产量为万件，所以该生产线的年盈利的最大值为（万元）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线和直线分别交于和两点，求线段的长．【解】（1）由(为参数)得曲线的普通方程为．由直线的方程为，得极坐标方程为，即．（2）曲线的极坐标方程是，把代入曲线的极坐标方程得，解之得或(舍)．把代入直线的极坐标方程得，所以．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知关于的不等式的解集为，其中．（1）求的值；（2）若正数．满足，求证：．【解】（1）由，得或，化简得或，由于，所以不等式组的解集为，由题设可得，故．（2）由（1）可知，，又由均值不等式有，，，三式相加可得，所以．