人教版九年级下数学第28章锐角三角函数 单元测试-含解析答案

人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元测试
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
3．如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
5．计算2cos30°的结果等于（　　）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．等于（　　）
A． B．2 C．3 D．
8．已知∠A与∠B互余，若tan∠A＝，则cos∠B的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（　　）米．

A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5
二．填空题（共8小题）
11．计算：sin45°＝　 　．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，则sin∠B＝　 　．

13．计算：2cos30°﹣2sin30°+3tan45°＝　 　．
14．如图，点A（t，6）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，，则t的值是　 　．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是　 　．

16．cos230°﹣tan60°＝　 　．
17．如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　 　nmile．（结果保留根号）

18．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为　 　m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

三．解答题（共8小题）
19．计算：tan30°sin60°﹣cos45°sin45°
20．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上一点，AC＝2，CD＝1，记∠CAD＝α．
（1）试写出a的三个三角函数值；
（2）若∠B＝α，求BD的长．

22．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．

23．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为15m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

24．高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

25．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．

26．为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，DB＝200米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求平安金融中心AB的高度；
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）


2020-2021学年人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
3．如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90o，
∴tanA＝＝2，
∴设CB＝2k，AC＝k，
∴AB＝＝k，
∴cosA＝＝＝，
故选：B．
4．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）

A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα＝，
∴A′C＝4sinα，
故选：B．

5．计算2cos30°的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：2cos30°＝2×＝．
故选：D．
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝，
则cosB＝＝＝，
故选：B．
7．等于（　　）
A． B．2 C．3 D．
【解答】解：原式＝2×+
＝+
＝2．
故选：A．
8．已知∠A与∠B互余，若tan∠A＝，则cos∠B的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠A与∠B互余，
∴∠A、∠B可看作Rt△ABC的两锐角，
∵tan∠A＝＝，
∴设BC＝4x，AC＝3x，
∴AB＝5x，
∴cos∠B＝＝＝．
故选：B．
9．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，
tanB＝＝．
故选：A．

10．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（　　）米．

A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5
【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝5米．
在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．
在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，
∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．
故选：A．

二．填空题（共8小题）
11．计算：sin45°＝　　．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，则sin∠B＝　　．

【解答】解：设BC＝x，
∵tan∠A＝，
∴＝，即＝，
∴AC＝2x，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，
解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴AC＝2x＝4，
∴sin∠B＝＝，
故答案为：．
13．计算：2cos30°﹣2sin30°+3tan45°＝　+2　．
【解答】解：原式＝2×﹣2×+3×1＝﹣1+3＝+2，
故答案为：+2．
14．如图，点A（t，6）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，，则t的值是　4　．

【解答】解：如图，
∵A（t，6），且在第一象限，
∴OB＝t，AB＝6，
在Rt△AOB中，
∵tanα＝＝，即＝，
∴t＝4，
故答案为：4．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是　　．

【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝＝5，
在Rt△AOB中，sinα＝＝，
故答案为．

16．cos230°﹣tan60°＝　　．
【解答】解：原式＝（）2﹣＝，
故答案为：．
17．如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　50　nmile．（结果保留根号）

【解答】解：根据题意，得：∠PAB＝60°，∠PBA＝30，AB＝2.5×40＝100（nmile），
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
在Rt△PAB中，PB＝AB•sin∠PAB＝100×＝50（nmile）．
故答案为：50．
18．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为　8.1　m．
（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

【解答】解：如图：AC＝3.1m，∠B＝38°，
∴AB＝＝，
∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3.1+5＝8.1（m）
故答案为8.1

三．解答题（共8小题）
19．计算：tan30°sin60°﹣cos45°sin45°
【解答】解：原式＝×﹣×，
＝﹣，
＝0．
20．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．
【解答】解：原式＝2×﹣××+（）2
＝﹣+
＝．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上一点，AC＝2，CD＝1，记∠CAD＝α．
（1）试写出a的三个三角函数值；
（2）若∠B＝α，求BD的长．

【解答】解：（1）在Rt△ACD中，AC＝2，CD＝1，
根据勾股定理得：AD＝＝，
则sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝；
（2）∵∠CAD＝∠B＝α，∠C＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△BCA，
设BD＝x，则BC＝x+1，
∴＝，即＝，
解得：x＝3，
则BD＝3．
22．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
而∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE＝α，
在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，
∴＝，
设BC＝4x，则AC＝5x，
∴AB＝3x，
∴3x＝4，解得x＝，
∴BC＝
∴AD＝．
23．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为15m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

【解答】解：（1）根据题意得∠ADB＝∠EAD＝45°，
在Rt△ABD中，∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝15（米）
答：两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度为15米；
（2）延长DC交AE于点F，根据题意可知四边形ABDF是正方形，
∴AF＝BD＝DF＝15，
在Rt△AFC中，∵∠FAC＝30°，
∴CF＝AFtan∠CAF＝15tan30°＝5，
∵DF＝15，
∴CD＝15﹣5，
答：建筑物CD的高度为（15﹣5）米．

24．高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【解答】解：设AH的长为x米，则CH的长为（x﹣2）米．
在Rt△ABH中，AH＝BH•tan45°，
∴BH＝x，
∴DH＝BH﹣BD＝x﹣10；
在Rt△CDH中，CH＝DH•tan65°，
∴x﹣2＝2.14（x﹣10），
解得：x＝17.01≈17.0．
答：立柱AH的长约为17.0米．
25．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A，B，D在同一水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）．

【解答】解：如图，∵CE∥DB，
∴∠CAD＝∠ACE＝45°，∠CBD＝∠BCE＝30°．
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝1200米，
在Rt△DCB中，∵tan∠CBD＝，
∴BD＝＝＝1200（米）．
∴AB＝BD﹣AD＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米．
故这条江的宽度AB长为1200（﹣1）米．

26．为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，DB＝200米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求平安金融中心AB的高度；
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）

【解答】解：（1）∵在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝400米，
∴DE＝CD•tan∠ECD≈400×0.62＝248（米）．
故大厦DE的高度约为248米；

（2）如图，作EF⊥AB于F．
由题意，得EF＝DB＝200米，BF＝DE＝248米，∠AEF＝60°．
∵在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，
∴AF＝EF•tan∠AEF≈200×1.73＝346（米），
∴AB＝BF+AF＝248+346＝594（米）．
故平安金融中心AB的高度约为594米．