人教版九年级数学上册24.2.2　直线和圆的位置关系共计3课时精品教案

课题

24.2.2　直线和圆的位置关系

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)知道直线和圆相交、相切、相离的定义.

(2)根据定义来判断直线和圆的位置关系,会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线.

(3)根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置.

2.过程与方法

让学生通过观察、看图、列表、分析、对比,能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系,揭示直线和圆的关系.此外,通过直线与圆的相对运动,培养学生运动变化的辩证唯物主义观点,通过对研究过程的反思,进一步强化对分类和归纳的思想的认识.

3.情感、态度与价值观

让学生感受到实际生活中,存在的直线和圆的三种位置关系,便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系,有利于学生把实际的问题抽象成数学模型,也便于学生观察直线和圆的公共点的变化.

教学

重难点

重点:直线和圆的三种位置关系.

难点:直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

播放幻灯片:

海上日出是非常壮美的景象,再配以巴金的《海上日出》中那优美的语句.播放一轮红日从海平面升起的照片抽象出直线与圆都有哪几种位置关系,引入新知.

探索新知

合作探究

活动1:准确地观察出圆相对于直线运动的过程中,有几种位置关系?

问题1:如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?

教师用多媒体演示.

问题2:请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?

探索新知

合作探究

学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况.

问题3:根据上面你的观察发现结果,你认为直线与圆的位置关系可以分为几类? 你分类的依据是什么?分别把它们的图形在草稿纸上画出来.

让学生先自主探索,再小组合作,分析、总结、交流.

填一填:请自学课本P96页上半部分,并完成下表.

判一判:(1)直线与圆最多有两个公共点.

(2)若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上.

(3)若A是☉O上一点,则直线AB与☉O相切.

(4)若C为☉O外一点,则过点C的直线与☉O相交或相离.

(5)直线a 和☉O有公共点,则直线a与☉O相交.

判一判第(5)小题学生容易误判,还有一种相切的情形.

教师强调:根据直线与圆的位置关系的定义,可以从公共点的个数来判断,但这不常用.

活动2:类比点与圆的位置关系探究直线与圆的位置关系的性质与判定方法.

问题1:刚才同学们用直尺在圆上移动的过程中,除了发现公共点的个数发生了变化外,还发现有什么量也在改变?它与圆的半径有什么样的数量关系呢?

多媒体动画演示便于学生观察圆与直线的距离d与圆的半径r 的数量关系.

问题2:怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢?

归纳:通过上面问题我们容易得到:

(1)直线和☉O相交⇔d<r;(2)直线和☉O相切⇔d=r;(3)直线和☉O相离⇔d>r.

教师总结:直线与圆的位置关系的性质与判定的区别:位置关系,数量关系.

当堂训练

1.已知圆的半径为6,直线和圆心的距离为d.

(1)若d=4,直线与圆　　　　,直线与圆有　　　　个公共点;

(2)若d=6,直线与圆　　　　,直线与圆有　　　　个公共点;

(3)若d=8,直线与圆　　　　,直线与圆有　　　　个公共点.

2.已知☉O的半径为5 cm,圆心O与线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:

(1)若AB和☉O相离,则　　　　　　　　　　　;

(2)若AB和☉O相切,则　　　　　　　　　　　;

(3)若AB和☉O相交,则　　　　　　　　　　　.

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?

(1)r=2; (2)r=2.4; (3)r=3.

归纳小结

学生完成下面的表格:

板书设计

第1课时　直线和圆的位置关系

教学反思

课题

24.2.2　直线和圆的位置关系

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)能判定一条直线是否为圆的切线.

(2)会过圆上一点画圆的切线.

(3)会作三角形的内切圆.

2.过程与方法

(1)通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.

(2)会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.

3.情感、态度与价值观

(1)经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

(2)经历探究圆与直线的位置关系的过程,掌握圆形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.

教学

重难点

重点:运用圆的切线的性质与判定定理解决数学问题.

难点:运用圆的判定定理解决数学问题.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

上节课我们学习了直线和圆的位置关系,圆的切线的性质,懂得了直线和圆有三种位置关系:相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系,可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断,还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.

由上可知,判断直线和圆相切的方法有两种,是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件.

探索新知

合作探究

活动:探索切线的判定条件

如图,AB是☉O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角∠α,当l绕点A旋转时,

(1)随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化?直线l与☉O的位置关系如何变化?

(2)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r?此时,直线l与☉O有怎样的位置关系?为什么?

师生互动:

大家可以先画一个圆,并画出直径AB,拿直尺当直线,让直尺绕着点A旋转.观察∠α发生变化时,点O到l的距离d如何变化,然后互相交流意见.

a.如图,直线l1与AB的夹角为α,点O到l的距离为d1,d1<r,这时直线l1与☉O的位置关系是相交;当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时,∠α由锐角变为直角,点O到l的距离为d,d=r,这时直线l与☉O的位置关系是相切;当把直线l再继续旋转到l2位置时,∠α由直角变为锐角,点O到l的距离为d2,d2<r,这时直线l与☉O的位置关系是相交

探索新知

合作探究

b.通过旋转可知,随着∠α由小变大,点O到l的距离d也由小变大,当∠α=90°时,d达到最大.此时d=r;之后∠α减小d逐渐变小.第(2)题就解决了.

当∠α=90°时,点O到l的距离d等于半径.此时,直线l与☉O的位置关系是相切,因为从上一节课可知,当圆心O到直线l的距离d=r时,直线与☉O相切.

c.从上面的分析可知,当直线l与直径之间满足什么关系时,直线l就是☉O的切线?请大家互相交流.

直线l垂直于直径AB,并经过直径的一端A点.

这就得出了判定圆的切线的又一种方法:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

例题:

如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.

求证:AT是☉O的切线.

分析:AT经过直径的一端,因此只要证AT垂直于AB即可,而由已知条件可知AT=AB,所以∠ABT=∠ATB,又由∠ABT=45°,所以∠ATB=45°.

由三角形内角和可证∠TAB=90°,即AT⊥AB.

请大家自己写步骤.

当堂训练

1.如图,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠D=30°,求证:CD是☉O的切线.

2.如图,PA为☉O的切线,A为切点.直线PO与☉O交于B,C两点,∠P=30°,连接AO,AB,AC.

(1)求证:△ACB≌△APO;(2)若AP=,求☉O的半径.

归纳小结

本节课同学们有哪些收获,相互交流一下:

1.探索切线的判定条件.

2.切线的性质的运用.

板书设计

第2课时　切线的判定和性质

1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

3.常用的辅助线作法:(1)连半径,证垂直;(2)作垂直,证半径.

教学反思

课题

24.2.2　直线和圆的位置关系

课时

第3课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)了解切线长的概念.

(2)理解切线长定理,并能灵活运用切线长定理解决问题.

(3)了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.

2.过程与方法

通过直观演示切线长,培养学生的语言表达能力和动手操作能力,对切线长定理的证明,培养学生对几何性质的归纳能力.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,培养了学生的观察能力,学生体验到探索结论的成就感,在相互交流中,增强了学生的学习合作能力.

教学

重难点

重点:切线长定理及其运用.

难点:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.已知△ABC,作三个内角平分线,说说它具有什么性质?

2.点和圆有几种位置关系?你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识?

3.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理,它们如何?

探索新知

合作探究

活动1:切线长定理

从上面的复习,我们可以知道,过☉O上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条,根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题.

问题:在你手中的纸上画出☉O,并画出过A点的唯一切线PA,连接PO,沿着直线PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B,这时,OB是☉O的一条半径吗?PB是☉O的切线吗?利用圆形的轴对称性,说明圆中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?

学生分组讨论,抽取3~4位同学回答这个问题.

我们把PA或PB的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.

从上面的操作我们可以得到:

从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

下面,请同学们给予逻辑证明.

结论:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

探索新知

合作探究

活动2:如何作三角形的内切圆.

如图,从一块三角形材料中,能否剪下一个圆使其与各边都相切.

分析:假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.

和三角形三边都相切的圆只可以作出一个,因为三角形三个内角的平分线交于一点,这点为圆心,这点到三角形三边的距离相等,这个距离为半径,圆心和半径都确定的圆只有一个,并且只能作出一个,这个圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.

当堂训练

1.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,☉O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在上.若PA长为2,则△PEF的周长是　　　　.

2.如图,☉O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则☉O的半径为　　　　.

第1题图                                         第2题图

3.为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径.若测得PA=5 cm,则铁环的半径长是多少?说一说你是如何判断的.

归纳小结

本节课你有哪些收获与困惑(小组内讨论交流,相互学习、相互补充)

板书设计

第3课时　切线长定理及三角形的内切圆

1.切线长　　　　　　　　　　　　　　3.内切圆

2.切线长定理 4.内心

教学反思